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§7.5 不等式的综合应用

考纲解读

内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度 能够灵活运用不等式的性质求定义2017天津,8; 选择题 域、值域;能够应用基本不等式求最不等式的综合应用 掌握 2014福建,13; 填空题 ★★★ 值;熟练掌握运用不等式解决应用题2013课标全国Ⅰ,11 解答题 的方法

分析解读 不等式的性质与函数、导数、数列等内容相结合,解决与不等式有关的数学问题和实际问题是高考热点.

五年高考

考点 不等式的综合应用

1.(2017天津,8,5分)已知函数f(x)=设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立,则a的取值范围是( )

A. B.

C.[-2,2] D. 答案 A

22

2.(2013山东,12,5分)设正实数x,y,z满足x-3xy+4y-z=0.则当取得最大值时,+-的最大值为( ) A.0 B.1 C. D.3 答案 B

3.(2013课标全国Ⅰ,11,5分)已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是( ) A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0] 答案 D

3

4.(2014福建,13,4分)要制作一个容积为4 m,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是 (单位:元). 答案 160

教师用书专用(5—6)

32

5.(2014辽宁,12,5分)当x∈[-2,1]时,不等式ax-x+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是( ) A.[-5,-3] B.

C.[-6,-2] D.[-4,-3] 答案 C

6.(2013湖南,20,13分)在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.

考点

(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明);

精品（一）

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(2)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小. 解析 设点P的坐标为(x,y).

(1)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,x∈R,y∈[0,+∞).

(2)由题意知,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值. ①当y≥1时,

d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|.

因为d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|,(*)

当且仅当x=3时,不等式(*)中的等号成立.又因为|x+10|+|x-14|≥24,(**) 当且仅当x∈[-10,14]时,不等式(**)中的等号成立. 所以d1(x)≥24,当且仅当x=3时,等号成立.

d2(y)=2y+|y-20|≥21,当且仅当y=1时,等号成立.

故点P的坐标为(3,1)时,P到三个居民区的“L路径”长度之和最小,且最小值为45.

②当0≤y≤1时,由于“L路径”不能进入保护区,所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|, 此时,d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|, d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21.

由①知,d1(x)≥24,故d1(x)+d2(y)≥45,当且仅当x=3,y=1时等号成立.

综上所述,在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小.

三年模拟

A组 2016—2018年模拟·基础题组

考点 不等式的综合应用

1.(2018四川南充一诊,7)若0logm(1-m) B.logm(1+m)>0

2

C.1-m>(1+m) D.(1-m>(1-m 答案 D

2

2.(2017湖南怀化一模,6)已知x>0,y>0,+=,x+2y>m-2m恒成立,则m的取值范围是( ) A.[-6,4] B.[-4,6] C.(-4,6) D.(-6,4) 答案 C

2

3.(2016广东实验中学第二次阶段考试,7)已知函数f(x)=若对任意的x∈R,不等式f(x)≤m-m恒成立,则实数m的取值范围是( )

A. B.∪[1,+∞) C.[1,+∞) D. 答案 B

4.(2018辽宁鞍山第一中学上学期第二次模拟考试(期中),15)函数y=loga(x+4)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中m,n均大于0,则+的最小值为 . 答案 5+2

5.(2018四川泸州第一中学第一次诊断性考试,15)已知函数f(x)=x,若f(x-1)>f(x),则x的取值范围是 . 答案

2xx

6.(2017安徽“江淮十校”第一次联考,16)对任意实数x均有e-(a-3)e+4-3a>0,则实数a的取值范围为 .

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答案 a≤

B组 2016—2018年模拟·提升题组

(满分:35分 时间:25分钟)

一、选择题(每小题5分,共20分)

x

1.(2018吉林东北师范大学附属中学高三上学期第一次摸底,12)已知函数f(x)=e(x-b)(b∈R),若存在x∈,使得f(x)+xf '(x)>0,则实数b的取值范围是( ) A. B.

C. D. 答案 A

2.(2017山东烟台一模,10)已知f(x)=若不等式f(x-1)≥f(x)对一切x∈R恒成立,则实数a的最大值为( ) A.- B.-1 C.- D.1 答案 B

3.(2017安徽“江淮十校”第一次联考,12)设函数f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且

x

f(x)+g(x)=2,若对x∈[1,2],不等式af(x)+g(2x)≥0恒成立,则实数a的取值范围是( ) A.[-1,+∞) B.[-2,+∞) C. D. 答案 C

x2

4.(2017江西金溪一中等期中联考,12)已知函数f(x)=2-5,g(x)=4x-x,给出下列三个命题: p1:若x∈R,则f(x)f(-x)的最大值为16;

p2:不等式f(x)

p3:当a>0时,若?x1,x2∈[a,a+2],f(x1)≥g(x2)恒成立,则a≥3. 那么,这三个命题中所有的真命题是( ) A.p1,p2,p3 B.p2,p3 C.p1,p2 D.p1 答案 A

二、填空题(每小题5分,共15分)

5.(2018四川成都第七中学一诊,16)设函数f(x)=,g(x)=,对任意x1,x2∈(0,+∞),不等式≤恒成立,则正数k的取值范围是 . 答案 k≥

6.(2018广东广州华南师范大学附属中学高三综合测试(二),16)已知函数f(x)的定义域为R,若存在常数m>0,对任意x∈R,有|f(x)|≤m|x|,则称f(x)为F函数.给出下列函数:

2

①f(x)=x;

②f(x)=sin x+cos x; ③f(x)=;

④f(x)是定义在R上的奇函数,且满足对一切实数x1,x2均有|f(x1)-f(x2)|≤2|x1-x2|. 其中是F函数的序号为 . 答案 ③④

7.(2017湖北重点高中联合协作体期中,16)如果函数f(x)在区间D上满足:?a,b,c∈D,f(a),f(b),f(c)为一个三角形的三边长,则称f(x)为“区间D上的三角形函数”.已知函数f(x)=kx+2是“[1,4]上的三角形函数”,则实数k的取值范围是 . 答案

C组 2016—2018年模拟·方法题组

方法 不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题的解题方法

3x

(2017吉林长春三模,12)?x∈,2≤logax+1恒成立,则实数a的取值范围是( )

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