广东省化州市实验中学2014高中数学 3.4 基本不等式导学案 新人教A

版必修5

【教学目标】

1、利用基本不等式求最值． 2、利用基本不等式证明不等式． 【知识要点】 1．基本不等式

(1)重要不等式：对于任意实数a,b，，都有a?b___2ab，当且仅当__________时，等号成立． (2)均值不等式

①形式：_________________；

②成立的前提条件：_________________；

③等号成立的条件：当且仅当__________时取等号； ④对任意两个正实数a、b，

22a＋b2

叫做a，b的_______________，ab 叫做a，b的________________．

2．应用基本不等式求最值 如果x,y都是正数，那么

(1)若积xy是定值p，那么当__________时，和x?y有最__________值． (2)若和x?y是定值S，那么当_______时，积xy有最______值．

2m例1、（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各是多少时，所用的篱

笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大的面积是多少？

4

例2、(1)若x＞0，求函数y＝x＋的最小值，并求此时x的值；

x3

(2)设0＜x＜，求函数y＝4x(3－2x)的最大值；

2

4

(3)已知x＞2，求x＋的最小值；

x－219

(4)已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值．

xy

1

【小结】 在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项为正;二是寻求定值,求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理发现拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件．即为“一正二定三相等” 【变式训练1】 (1) 若x?0,求f(x)?12x?3x的最小值. (2)若x?0,求f(x)?12x?3x的最大值. (3)已知0＜x＜1

3

，求函数y＝x(1－3x)的最大值；

【变式训练3】(2011·高考北京卷)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8

天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的

生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A．60件 B．80件 C．100件 D．120件

【课后训练】

1.?已知x?514，则函数y?4x?4x?5的最小值是（???????） ???A.-3?????????B.2????????????C.5??????????????D.72.?有下列式子：(1)?a2?1?2a?;?(2)x?1?2；(3)a?b?2;?(4)x21xab?x2?1?1，其中正确的个数是（???? A.0 B.1 C.2 D.3

2

）3.??已知a?0,b?0,a?b?4,则下列各式中正确的不等式是（??）411111??A.?1?????B.?+????????C.ab?2?????D.+?ababab4

4. 若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．

x2?15.?求y?(x?0)?的值域______________.

x6 . (本题满分12分)某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起，包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．

(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？ (2)问捕捞几年后的平均利润最大,最大是多少？

3