一．填空题：

1、(?1859, 1573)=143 2、对于任意的正整数a,b，有[a,b]?ab. (a,b)3、x?[x]?{x}. 4、22345680的标准分解式是

22345680?24?3?5?7?47?283.

5、整数集合A中含有m个整数，且A中任意两个整数对于m是不同余的，则整数集合A是模m的完全剩余系.

6、设a、b是任意两个正整数，则不大于a而为b的倍数的正整数个数为??.

b7、素数写成两个平方数和的方法是唯一的. 8、不同剩余类中的任何两个不同整数对模m是不同余的.

9、n元一次不定方程a1x1?a2x2?……?anxn?c.有解的充分必要条件是

?a???(a1?a2……an)c. 10、初等数论按研究方法分为：初等数论、解析数论、代数数论、几何数论.

11、数集合A是模m的简化剩余系的充要条件（1）A中含有f(m)个整数；（2）任意两个整数对模m不同余；

（3）A中每个整数都与m互素；

212、 设n是正整数c2n1,c2n3,.........c2n2n?1的最大公约数为,k?1 13、若(a,b)?1，则

(a,bc)?(a,c).

14、81234被13除的余数是12. 15、模7的最小非负完全剩余系是0、1、2、3、4、5、6.

二、判断题：

1、若n为奇数，则8|n?1。 （ √ ） 2、设n、k是正整数n与nkk?42的个位数字不一定相同。 （ × ）

3、任何大于1的整数a都至少有一个素因数. （ √ ） 4、任何一个大于1的合数与a，必然有一个不超过a的素因数. （ √ ） 5、任意给出的五个整数中必有三个数之和能被整数3整除. （ √ ） 6、最大公约数等于1是两两互素的必要而不充分条件. （ √ ） 7、设p是素数，a是整数，则pa或(p,a)?1. （ √ ） 8、如果a1,a2……an是互素的，则a1,a2……an一定两两互素 （ ×）

9、设p是素数，若pab，则pa且pb. （ × ） 10、（刘维尔定理）设p是素数，则(p?1)！??1(modp) （ √ ） 11、m是正整数(a,m)?1，则a?(m)?1(modm).（ √ ）

12、由于每个非零整数的约数个数是有限的，所以最大的公约数存在，且正整数。（ √ ） 13、设d是a1,a2……ak的一个约数，则da1,a2……ak（ √ ） 14、1978103?19783不能被10整除。（ × ） 15、1?311?........? (n?2) 是整数（ × ） 2nn16、n为正整数，若2?1为素数，则n不一定是素数（ × ） 17、若n?1并且(n?1)!?(modn),则n不是素数（ × ）

18、设f(x)是整系数多项式，并且f(1),f(2),……f(m)都不能被m整除，则f(m)?0有整数解（ × ）

19、若(m1,m2)?1（m1,m2是任意两个互质的正整数），是则?(m1m2)??(m1)??(m1) （ × ）

20、如果两个整数互相整除，则这两个数仅相差一个符号（ × ） 三、计算题：

221、设a、b是整数且9a?ab?b，则3(a,b).

22222解：由9a?ab?b?3(a?b)?3ab?3(a?b)?3a?b?9(a?b). 22再由9a?ab?b得93ab?3ab.

由定理4的推论1（设p是素数，若pab，则pa或pb.）得3a或3b. 2、求(12345, 678).

（12345,339）?（12006,339）?（6003,339）?（5664,339）解：(12345, 678).=

=（177,339）=（177,162）=（177,81）=（96,81）=（3,81）=3.

3、求(25733?46)26被50除的余数. 解：根据定理4，有(257?46)3326?(733?4)26?[(7?72)16?4]26?[7?(?1)16?4]26

265?（7?4）?326?3（?35）??21?29（mod50)即所

求的余数是29.

19写成三个既约分数之和，它们的分母分别是2，3和5. 3019xyz???即15x?10y?6z?19. 解：设

302354、将

?15x?10y?5t?t??1?6u解得? (15,10)?5?d2 ?上述方程等价于??5t?6z?19?z?4?5u?x??1?6u?2v?x?t?2v?从而，?故?y?1?6u?3v(u,v?z)y??t?30??z?4?5u?即

取u?v?0得x??1,y?1,z?419114???? 302355、求不定方程3x?6y?15的解. 解：

(3,6)?315?方程有解

由辗转相除法，可以知道x??1,y?1是方程3x?6y?3(x?2y?1?a?1,b?2)的一个解

所以，x0??5,y0?5就是原方程的解； 由定理2知??x??5?2t（t?z)

?y?5?t6、用辗转相除法求整数x、y使得1387x-162y=(1387,162).

解：作辗转相除：1387?(?162)?(?8)?91，?162?91?(?2)?20

91?20?4?11，20?11?1?9，11?9?1?2，9?2?4?1，2?1?2?0 由此可得n?6，q1??8，q2??2，q3?4，q4?1，q5?1，q6?4

x=(?1)n?1Qn?73，

y=(?1)np?625,又(1387,162).=rn?1，

n故1387?73?162?625?1?(1387,162)

177、将写成三个既约分数之和，它们的分母分别是3，5和7（第四章习题一1）

105解：设

17xyz???，即35x?21y?15z?17. 105357因(35,21)?7,(7,15)?1，117，故有解. 分

别

解

5x?3y?t得?tx??t?3u,y?2t?5u,u?Z,t?11?15v,z??4?7v,v?Z

消去t得x??11?15v?3u,y?22?30v?5u,z??4?7v,u、v?Z. 对于任意的确定的u和v的值，都给出一种表示法。 8、求最大的正整数k，使得10199!

解：由定理3（设n是正整数，n!?p1?p2……pk?1?2?kk是n!的标准分解式，则?i??[r?1?n]）pir

从而得知，

199199199!的标准分解式中所含的5的幂指数是[]?[2]?……?4755（199!?10k?A?2k?5k?A） 所以所求得的最大正整数是47.

9、若四个数2839,4582,5164,6522被同一个大于1的整数除所得的余数相同，且不等于零，求除数和余数各是多少？

解：设除数为d，余数为r，则由d4582?2836?1746，d5164?4582?582，

r?,d6522?5164?1358，知d(17,5684,123)5?189由4此得d?97d?194,r?120.

3510、将2?1?34359738367分解因数.（ 第三章 第四节 Euler定理 例7 ） 3557解：若p2?1，则p是2?1或2?1的素因数或者p?1(mod70).

或235其中有31和127，因为2?1?31?127?8727391，所以2?1分别是因数只能用

35p?1(mod70).来寻求

在数列71、211、281……中经检验8727391?71?122921 显然，122921的素因数也在31、127或数列71、211、281……中

简单计算122921不能被31、127整除，也不能被数列71、211、281……（122921?351）整除.

所以122921是素数，故2?1?31?127?71?122921

四、证明题：1、求证：平方数的正因数个数是奇数.

证明：因为每个自然数n的正因数个数是成对出现的，若d是n的因数，则数

当d?n时，则d?35n也是n的因dn. dn当d?n时，则d?即当n为平方数时，n是n的因数，与其配对的是n自身.

d于是，当且仅当n为平方数时，n的正因数个数是奇数. 2、求证：若(a,b)?1，则(a?b,a?b)?1或2.

证明：假设d是a?b的任意一个公约数，则有da?b且da?b. 于是d2a，d2b. 又

(a,b)?1 ?d2 从而，d?1或d?2.

4nnnn3、假设a为正整数，则51?2?3?4的充要条件为4n.

证明：因为?(5)?4，所以，由费马定理有k?1(mod5)故

(1?k?4). (r，?则r?，若

n?4q?

1n?2n?3n?4n?1r?2r?3r?4r?1r?2r?(?2)r?(?1)r

nnnn用r?0、1、2、3分别代入上式，则当r?1、2、3时51?2?3?4

nnnn当r?0时，4n，5不整除1?2?3?4.

nnnn因此，若a为正整数，则51?2?3?4的充要条件为4n.

4、证明：对任意整数n，f(n)?3n5?5n3?7n被15整除. 证明：对任意整数n记作n?15q?r(0?r?15)

k因为对任意的整数m有a?a1m?r1则a与r1被m除的余数相同

222r?0n2?(15q?r)2?(15q)2?30qr?r2?15A1?r即n与r被15除的余数是相同的

k记为r1.

4同理，n与r被15除的余数是相同的记为r2.即r2?15B1?r1，r?15B2?r2则

44n4?15A2?r4.

考虑3n?5n?7被15除的余数

423n4?5n2?7?3(15A2?r4)?5(15A1?r2)?7

?3?15A2?3?(15B2?r2)?5(15A1?15B1?r1)?7?15Q?3r2?5r1?7?15Q??R

R. 可见，3n?5n?7与3r2?5r1?7的余数相同记为

42?f(n)?n?(3n4?5n2?7)?(15C?R)(15q?r)?15O?Rr且f(n)与Rr有相同的余数

记为R?.

当r?0时，R??0即15f(n).

14的情形通过计算列出下表：【对于r?1,2,……】

r?1、14 r?2、13 r?3、12 r?4、11 r?5、10

r?6、9 r?7、8

r1?1 r2?1

R?0 R??0

r1?4 r1?4 r2?6

R?10 R??0

r1?1 r2?1

R?0 R??0

r1?10 r1?6 r2?6

R?10 R??0

r1?4

r2?1

R?0 R??0

r2?10

R?12

r2?1

R?0 R??0

R??0

5、定理（带余除法）：若a、b是两个整数，其中b≠0，则存在着两个整数q和r，使得

a?bq?r,0?r?b 成立.而且q及r是唯一的.

证明：存在性：若ba，则a?bq(q?z)可以取r?0

若ba，考虑集合A?{a?kb,k?z}集合A中有无限多个正整数，设其中最小的正整数为

r?a?k0b.

则必有0?r?b，否则就有r?b（?r?b，若r?b，则ba矛盾，于是r?b即

r?a?k0b?b?a?k0b?b?0这样集合A中又有正整数a?k0b?b?r与r的最小

值矛盾）

故0?r?b，取q??k0使得a?bq?r,0?r?b 成立. 存在性得证