初等数论试卷 下载本文

一.填空题:

1、(?1859, 1573)=143 2、对于任意的正整数a,b,有[a,b]?ab. (a,b)3、x?[x]?{x}. 4、22345680的标准分解式是

22345680?24?3?5?7?47?283.

5、整数集合A中含有m个整数,且A中任意两个整数对于m是不同余的,则整数集合A是模m的完全剩余系.

6、设a、b是任意两个正整数,则不大于a而为b的倍数的正整数个数为??.

b7、素数写成两个平方数和的方法是唯一的. 8、不同剩余类中的任何两个不同整数对模m是不同余的.

9、n元一次不定方程a1x1?a2x2?……?anxn?c.有解的充分必要条件是

?a???(a1?a2……an)c. 10、初等数论按研究方法分为:初等数论、解析数论、代数数论、几何数论.

11、数集合A是模m的简化剩余系的充要条件(1)A中含有f(m)个整数;(2)任意两个整数对模m不同余;

(3)A中每个整数都与m互素;

212、 设n是正整数c2n1,c2n3,.........c2n2n?1的最大公约数为,k?1 13、若(a,b)?1,则

(a,bc)?(a,c).

14、81234被13除的余数是12. 15、模7的最小非负完全剩余系是0、1、2、3、4、5、6.

二、判断题:

1、若n为奇数,则8|n?1。 ( √ ) 2、设n、k是正整数n与nkk?42的个位数字不一定相同。 ( × )

3、任何大于1的整数a都至少有一个素因数. ( √ ) 4、任何一个大于1的合数与a,必然有一个不超过a的素因数. ( √ ) 5、任意给出的五个整数中必有三个数之和能被整数3整除. ( √ ) 6、最大公约数等于1是两两互素的必要而不充分条件. ( √ ) 7、设p是素数,a是整数,则pa或(p,a)?1. ( √ ) 8、如果a1,a2……an是互素的,则a1,a2……an一定两两互素 ( ×)

9、设p是素数,若pab,则pa且pb. ( × ) 10、(刘维尔定理)设p是素数,则(p?1)!??1(modp) ( √ ) 11、m是正整数(a,m)?1,则a?(m)?1(modm).( √ )

12、由于每个非零整数的约数个数是有限的,所以最大的公约数存在,且正整数。( √ ) 13、设d是a1,a2……ak的一个约数,则da1,a2……ak( √ ) 14、1978103?19783不能被10整除。( × ) 15、1?311?........? (n?2) 是整数( × ) 2nn16、n为正整数,若2?1为素数,则n不一定是素数( × ) 17、若n?1并且(n?1)!?(modn),则n不是素数( × )

18、设f(x)是整系数多项式,并且f(1),f(2),……f(m)都不能被m整除,则f(m)?0有整数解( × )

19、若(m1,m2)?1(m1,m2是任意两个互质的正整数),是则?(m1m2)??(m1)??(m1) ( × )

20、如果两个整数互相整除,则这两个数仅相差一个符号( × ) 三、计算题:

221、设a、b是整数且9a?ab?b,则3(a,b).

22222解:由9a?ab?b?3(a?b)?3ab?3(a?b)?3a?b?9(a?b). 22再由9a?ab?b得93ab?3ab.

由定理4的推论1(设p是素数,若pab,则pa或pb.)得3a或3b. 2、求(12345, 678).

(12345,339)?(12006,339)?(6003,339)?(5664,339)解:(12345, 678).=

=(177,339)=(177,162)=(177,81)=(96,81)=(3,81)=3.

3、求(25733?46)26被50除的余数. 解:根据定理4,有(257?46)3326?(733?4)26?[(7?72)16?4]26?[7?(?1)16?4]26

265?(7?4)?326?3(?35)??21?29(mod50)即所

求的余数是29.

19写成三个既约分数之和,它们的分母分别是2,3和5. 3019xyz???即15x?10y?6z?19. 解:设

302354、将

?15x?10y?5t?t??1?6u解得? (15,10)?5?d2 ?上述方程等价于??5t?6z?19?z?4?5u?x??1?6u?2v?x?t?2v?从而,?故?y?1?6u?3v(u,v?z)y??t?30??z?4?5u?即

取u?v?0得x??1,y?1,z?419114???? 302355、求不定方程3x?6y?15的解. 解:

(3,6)?315?方程有解

由辗转相除法,可以知道x??1,y?1是方程3x?6y?3(x?2y?1?a?1,b?2)的一个解

所以,x0??5,y0?5就是原方程的解; 由定理2知??x??5?2t(t?z)

?y?5?t6、用辗转相除法求整数x、y使得1387x-162y=(1387,162).

解:作辗转相除:1387?(?162)?(?8)?91,?162?91?(?2)?20

91?20?4?11,20?11?1?9,11?9?1?2,9?2?4?1,2?1?2?0 由此可得n?6,q1??8,q2??2,q3?4,q4?1,q5?1,q6?4

x=(?1)n?1Qn?73,

y=(?1)np?625,又(1387,162).=rn?1,

n故1387?73?162?625?1?(1387,162)

177、将写成三个既约分数之和,它们的分母分别是3,5和7(第四章习题一1)

105解:设

17xyz???,即35x?21y?15z?17. 105357因(35,21)?7,(7,15)?1,117,故有解. 分

5x?3y?t得?tx??t?3u,y?2t?5u,u?Z,t?11?15v,z??4?7v,v?Z

消去t得x??11?15v?3u,y?22?30v?5u,z??4?7v,u、v?Z. 对于任意的确定的u和v的值,都给出一种表示法。 8、求最大的正整数k,使得10199!

解:由定理3(设n是正整数,n!?p1?p2……pk?1?2?kk是n!的标准分解式,则?i??[r?1?n])pir

从而得知,

199199199!的标准分解式中所含的5的幂指数是[]?[2]?……?4755(199!?10k?A?2k?5k?A) 所以所求得的最大正整数是47.

9、若四个数2839,4582,5164,6522被同一个大于1的整数除所得的余数相同,且不等于零,求除数和余数各是多少?

解:设除数为d,余数为r,则由d4582?2836?1746,d5164?4582?582,

r?,d6522?5164?1358,知d(17,5684,123)5?189由4此得d?97d?194,r?120.

3510、将2?1?34359738367分解因数.( 第三章 第四节 Euler定理 例7 ) 3557解:若p2?1,则p是2?1或2?1的素因数或者p?1(mod70).

或235其中有31和127,因为2?1?31?127?8727391,所以2?1分别是因数只能用

35p?1(mod70).来寻求

在数列71、211、281……中经检验8727391?71?122921 显然,122921的素因数也在31、127或数列71、211、281……中

简单计算122921不能被31、127整除,也不能被数列71、211、281……(122921?351)整除.

所以122921是素数,故2?1?31?127?71?122921

四、证明题:1、求证:平方数的正因数个数是奇数.

证明:因为每个自然数n的正因数个数是成对出现的,若d是n的因数,则数

当d?n时,则d?35n也是n的因dn. dn当d?n时,则d?即当n为平方数时,n是n的因数,与其配对的是n自身.

d于是,当且仅当n为平方数时,n的正因数个数是奇数. 2、求证:若(a,b)?1,则(a?b,a?b)?1或2.

证明:假设d是a?b的任意一个公约数,则有da?b且da?b. 于是d2a,d2b. 又

(a,b)?1 ?d2 从而,d?1或d?2.

4nnnn3、假设a为正整数,则51?2?3?4的充要条件为4n.

证明:因为?(5)?4,所以,由费马定理有k?1(mod5)故

(1?k?4). (r,?则r?,若

n?4q?

1n?2n?3n?4n?1r?2r?3r?4r?1r?2r?(?2)r?(?1)r

nnnn用r?0、1、2、3分别代入上式,则当r?1、2、3时51?2?3?4

nnnn当r?0时,4n,5不整除1?2?3?4.

nnnn因此,若a为正整数,则51?2?3?4的充要条件为4n.

4、证明:对任意整数n,f(n)?3n5?5n3?7n被15整除. 证明:对任意整数n记作n?15q?r(0?r?15)

k因为对任意的整数m有a?a1m?r1则a与r1被m除的余数相同

222r?0n2?(15q?r)2?(15q)2?30qr?r2?15A1?r即n与r被15除的余数是相同的

k记为r1.

4同理,n与r被15除的余数是相同的记为r2.即r2?15B1?r1,r?15B2?r2则

44n4?15A2?r4.

考虑3n?5n?7被15除的余数

423n4?5n2?7?3(15A2?r4)?5(15A1?r2)?7

?3?15A2?3?(15B2?r2)?5(15A1?15B1?r1)?7?15Q?3r2?5r1?7?15Q??R

R. 可见,3n?5n?7与3r2?5r1?7的余数相同记为

42?f(n)?n?(3n4?5n2?7)?(15C?R)(15q?r)?15O?Rr且f(n)与Rr有相同的余数

记为R?.

当r?0时,R??0即15f(n).

14的情形通过计算列出下表:【对于r?1,2,……】

r?1、14 r?2、13 r?3、12 r?4、11 r?5、10

r?6、9 r?7、8

r1?1 r2?1

R?0 R??0

r1?4 r1?4 r2?6

R?10 R??0

r1?1 r2?1

R?0 R??0

r1?10 r1?6 r2?6

R?10 R??0

r1?4

r2?1

R?0 R??0

r2?10

R?12

r2?1

R?0 R??0

R??0

5、定理(带余除法):若a、b是两个整数,其中b≠0,则存在着两个整数q和r,使得

a?bq?r,0?r?b 成立.而且q及r是唯一的.

证明:存在性:若ba,则a?bq(q?z)可以取r?0

若ba,考虑集合A?{a?kb,k?z}集合A中有无限多个正整数,设其中最小的正整数为

r?a?k0b.

则必有0?r?b,否则就有r?b(?r?b,若r?b,则ba矛盾,于是r?b即

r?a?k0b?b?a?k0b?b?0这样集合A中又有正整数a?k0b?b?r与r的最小

值矛盾)

故0?r?b,取q??k0使得a?bq?r,0?r?b 成立. 存在性得证