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由递推公式求通项的常用方法和技巧
递推数列是高考考查的热点，由递推公式求通项时，一般需要先对递推公式进行变形，然后利用转化与化归的思想解决递推数列问题．下面给出几种常见的递推数列，并讨论其通项公式的求法．
类型1 an＋1＝an＋f(n)
把原递推公式转化为an＋1－an＝f(n)，再利用累加法(逐差相加法)求解． 已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，求数列{an}的通项公式．
因为a1＝2，an＋1－an＝n＋1， 所以an－an－1＝(n－1)＋1，
an－1－an－2＝(n－2)＋1，an－2－an－3＝(n－3)＋1，
…
a2－a1＝1＋1，
由已知，a1＝2＝1＋1， 将以上各式相加，得
an＝＋n＋1
＝＝＝
n－1[n－1＋1]
2
＋n＋1
nn－1
2
＋n＋1 ＋1.
nn＋1
2
类型2 an＋1＝f(n)an 把原递推公式转化为
an＋1
＝f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)求解． an2n 已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝·an，求数列{an}的通项公式．
3n＋1
由an＋1＝
·an，得＝.
n＋1ann＋1
*
nan＋1n当n≥2，n∈N时，an＝
anan－1a2n－1n－21222
··…··a1＝··…··＝，即an＝. an－1an－2a1nn－1233n3n222
又当n＝1时，＝＝a1，故an＝.
3×133n类型3 an＋1＝pan＋q
先用待定系数法把原递推公式转化为an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝，再利用换元法转
1－p化为等比数列求解．
已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求数列{an}的通项公式．
q
设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)， 即an＋1＝2an－t，解得t＝－3. 故an＋1＋3＝2(an＋3)．
令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且
bn＋1an＋1＋3
＝＝2. bnan＋3
所以{bn}是以4为首项，以2为公比的等比数列． 所以bn＝4×2
n－1
＝2
n＋1,
即an＝2
n＋1
－3.
类型4 an＋1＝pan＋q
(1)一般地，要先在递推公式两边同除以qn＋1
n，得
an＋1pan1
＝·＋，引入辅助数列qn＋1qqnqan?p1?{bn}?其中bn＝n?，得bn＋1＝·bn＋，再用待定系数法解决； q??
qq(2)也可在原递推公式两边同除以pn＋1
，得
an?an＋1an1?q?n?引入辅助数列{bn}?其中bn＝n?，n＋1＝n＋??，p?ppp?p??
1?q?n得bn＋1－bn＝??，再利用累加法(逐差相加法)求解．
p?p?
51?1?n＋1
已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋??，求数列{an}的通项公式．
63?2?
12n?1?n＋1n＋1n＋1
解法一：将an＋1＝an＋??两边分别乘以2，得2an＋1＝(2an)＋1.
33?2?
?2?n令bn＝2an，则bn＋1＝??bn＋1，
?3?
2
根据待定系数法，得bn＋1－3＝(bn－3)．
3
542
所以数列{bn－3}是首项为b1－3＝2×－3＝－，公比为的等比数列．
6334?2?n－1
所以bn－3＝－·??，
3?3?
?2?n即bn＝3－2·??.
?3?
bn32
于是，an＝n＝n－n. 223
1?1?n＋1?3?n＋1n＋1n＋1n解法二：将an＋1＝an＋??两边分别乘以3，得3an＋1＝3an＋??.
3?2??2?
3n＋1n令bn＝3an，则bn＋1＝bn＋，
2
?3?n?3?n－1?3?2
所以bn－bn－1＝??，bn－1－bn－2＝??，…，b2－b1＝??.
?2??2??2?
将以上各式叠加，得
bn－b1＝??2＋…＋??n－1＋??n， 222
553
又b1＝3a1＝3×＝＝1＋，
622
?3????3????3???
??3?n＋1?1·?1－???
3?3?2??2???3?n－1?3?n?3?n＋1
所以bn＝1＋＋??＋…＋??＋??＝＝2·??－2，
2?2?3?2??2??2?
1－2?3?n＋1
即bn＝2·??－2.
?2?
bn32
故an＝n＝n－n.
323
类型5 an＋1＝pan＋an＋b(p≠1，p≠0，a≠0)
这种类型的题目一般是利用待定系数法构造等比数列，即令an＋1＋x(n＋1)＋y＝p(an＋xn＋y)，然后与已知递推式比较，解出x，y，从而得到{an＋xn＋y}是公比为p的等比数列．
设数列{an}满足a1＝4，an＝3an－1＋2n－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式．
an＝3an－1＋2n－1→利用待定系数法得到一个等比数列→
利用等比数列的知识可解 设递推公式可以转化为
an＋An＋B＝3，
化简后与原递推式比较，得
??2A＝2，?
?2B－3A＝－1，?
??A＝1，
解得?
?B＝1.?
则an＋n＋1＝3． 令bn＝an＋n＋1，(*) 则bn＝3bn－1， 又b1＝6，故bn＝6·3
n－1
＝2·3，
n代入(*)，得an＝2·3－n－1. 类型6 an＋1＝pan(p>0，an>0)
这种类型的题目一般是将等式两边取对数后转化为an＋1＝pan＋q型，再利用待定系数法求
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