解．
12
已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝·an(m>0)，求数列{an}的通项公式．
m
12
对an＋1＝·an两边取对数，得
m1
lg an＋1＝2lg an＋lg . m1
令bn＝lg an，则bn＋1＝2bn＋lg .
m1?1?
因此得bn＋1＋lg ＝2?bn＋lg ?，
m?m?
1
记cn＝bn＋lg ，则cn＋1＝2cn.
m11
所以数列{cn}是首项c1＝b1＋lg ＝lg ，公比为2的等比数列．
mm所以cn＝2
n－1
1·lg .
m111??1?n－1?n－1
所以bn＝cn－lg ＝2·lg －lg ＝lg ?m·??2?，
mmm??m??
??1?n－1?即lg an＝lg ?m·??2?，
?
?m?
?
?1?n－1
所以an＝m·??2.
m??
类型7 an＋1＝
pan(p，q，r≠0且an≠0，qan＋r≠0) qan＋r这种类型的题目一般是将等式两边取倒数后，再进一步处理． 若p＝r，则有若p≠r，则有
11
an＋1
＝?1?r＋qan1q＝＋，此时??为等差数列． pananp?an?
an＋1panpr1q＝·＋，此时可转化为类型3来处理．
2an，求数列{an}的通项公式． an＋2
已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝
因为an＋1＝
2an，a1＝1， an＋2
所以an≠0， 所以即
11＝＋， an＋1an21
11－＝. an＋1an2
1
1
又a1＝1，则＝1，
a1
?1?1
所以??是以1为首项，以为公差的等差数列．
2?an?
111n＋1
所以＝＋(n－1)×＝，
ana122所以an＝
2*
(n∈N)． n＋1
类型8 an＋1＋an＝f(n)
将原递推关系改写成an＋2＋an＋1＝f(n＋1)，两式相减即得an＋2－an＝f(n＋1)－f(n)，然后将n按奇数、偶数分类讨论即可．
已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＋an＝2n，求数列{an}的通项公式．
因为an＋1＋an＝2n，
所以an＋2＋an＋1＝2n＋2，故an＋2－an＝2，
即数列{an}是奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列． 当n为偶数时，a2＝1，
??故an＝a2＋2?－1?＝n－1. ?2?
当n为奇数时，因为an＋1＋an＝2n，an＋1＝n(n＋1为偶数)，故an＝n.
??n，n为奇数，
综上知，an＝?
?n－1，n为偶数，?
n
n≥1，n∈N*.
类型9 an＋1·an＝f(n)
将原递推关系改写成an＋2·an＋1＝f(n＋1)，两式作商可得数、偶数分类讨论即可．
已知数列{an}中，a1＝3，an＋1·an＝2，求数列{an}的通项公式．
nan＋2fn＋1
＝，然后将n按奇anfn
因为an＋1·an＝2， 所以an＋2·an＋1＝2
n＋1n，故
an＋2
＝2， an即数列{an}是奇数项与偶数项都是公比为2的等比数列． 2
当n为偶数时，a2＝，
3－1－1222
故an＝a2·2 ＝·2 ，
3 21
即an＝·2 ；
3
当n为奇数时，n＋1为偶数， +121
故an＋1＝·2 ，
3
－1
n代入an＋1·an＝2，得an＝3·2 .
2
nnnnn－12??3·2 ，n为奇数，
综上知，a＝?n 21
?·2?3 ，n为偶数.
nn