解．

12

已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝·an(m>0)，求数列{an}的通项公式．

m

12

对an＋1＝·an两边取对数，得

m1

lg an＋1＝2lg an＋lg . m1

令bn＝lg an，则bn＋1＝2bn＋lg .

m1?1?

因此得bn＋1＋lg ＝2?bn＋lg ?，

m?m?

1

记cn＝bn＋lg ，则cn＋1＝2cn.

m11

所以数列{cn}是首项c1＝b1＋lg ＝lg ，公比为2的等比数列．

mm所以cn＝2

n－1

1·lg .

m111??1?n－1?n－1

所以bn＝cn－lg ＝2·lg －lg ＝lg ?m·??2?，

mmm??m??

??1?n－1?即lg an＝lg ?m·??2?，

?

?m?

?

?1?n－1

所以an＝m·??2.

m??

类型7 an＋1＝

pan(p，q，r≠0且an≠0，qan＋r≠0) qan＋r这种类型的题目一般是将等式两边取倒数后，再进一步处理． 若p＝r，则有若p≠r，则有

11

an＋1

＝?1?r＋qan1q＝＋，此时??为等差数列． pananp?an?

an＋1panpr1q＝·＋，此时可转化为类型3来处理．

2an，求数列{an}的通项公式． an＋2

已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝

因为an＋1＝

2an，a1＝1， an＋2

所以an≠0， 所以即

11＝＋， an＋1an21

11－＝. an＋1an2

1

1

又a1＝1，则＝1，

a1

?1?1

所以??是以1为首项，以为公差的等差数列．

2?an?

111n＋1

所以＝＋(n－1)×＝，

ana122所以an＝

2*

(n∈N)． n＋1

类型8 an＋1＋an＝f(n)

将原递推关系改写成an＋2＋an＋1＝f(n＋1)，两式相减即得an＋2－an＝f(n＋1)－f(n)，然后将n按奇数、偶数分类讨论即可．

已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＋an＝2n，求数列{an}的通项公式．

因为an＋1＋an＝2n，

所以an＋2＋an＋1＝2n＋2，故an＋2－an＝2，

即数列{an}是奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列． 当n为偶数时，a2＝1，

??故an＝a2＋2?－1?＝n－1. ?2?

当n为奇数时，因为an＋1＋an＝2n，an＋1＝n(n＋1为偶数)，故an＝n.

??n，n为奇数，

综上知，an＝?

?n－1，n为偶数，?

n

n≥1，n∈N*.

类型9 an＋1·an＝f(n)

将原递推关系改写成an＋2·an＋1＝f(n＋1)，两式作商可得数、偶数分类讨论即可．

已知数列{an}中，a1＝3，an＋1·an＝2，求数列{an}的通项公式．

nan＋2fn＋1

＝，然后将n按奇anfn

因为an＋1·an＝2， 所以an＋2·an＋1＝2

n＋1n，故

an＋2

＝2， an即数列{an}是奇数项与偶数项都是公比为2的等比数列． 2

当n为偶数时，a2＝，

3－1－1222

故an＝a2·2 ＝·2 ，

3 21

即an＝·2 ；

3

当n为奇数时，n＋1为偶数， +121

故an＋1＝·2 ，

3

－1

n代入an＋1·an＝2，得an＝3·2 .

2

nnnnn－12??3·2 ，n为奇数，

综上知，a＝?n 21

?·2?3 ，n为偶数.

nn