课时跟踪检测（三十一） 解三角形的实际应用

1．在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为( )

A.6 km B.2 km C.3 km

解析：选A 如图，在△ABC中， 由已知可得∠ACB＝45°， AC2∴＝， sin 60°sin 45°∴AC＝22×3

＝6(km)． 2

D．2 km

2.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km)( )

A．8.4 km C．6.5 km

解析：选B 因为AB＝1 000×

B．6.6 km D．5.6 km

150

＝(km)， 603

AB50

所以BC＝·sin 30°＝(km)．

sin 45°32所以航线离山顶的高度h＝BC·sin 75°＝所以山高为18－11.4＝6.6(km)．

3.如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，A，B的距离是84 m，则塔高CD为( )

A．24 m C．127 m

解析：选C 设塔高CD＝x m， 则AD＝x m，DB＝3x m.

又由题意得∠ADB＝90°＋60°＝150°， 在△ABD中，由余弦定理，

B．125 m D．36 m

5050

×sin 75°＝×sin(45°＋30°)≈11.4(km)． 3232

得842＝x2＋(3x)2－23·x2cos 150°， 解得x＝127(负值舍去)，故塔高为127 m.

4.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min，则该扇形的半径的长度为( )

A．505 m C．5011 m

B．507 m D．5019 m

解析：选B 设该扇形的半径为r，连接CO，如图所示． 由题意，得CD＝150(m)，OD＝100(m)，∠CDO＝60°，

在△CDO中，由余弦定理得，CD2＋OD2－2CD·OD·cos 60°＝OC2， 1

即1502＋1002－2×150×100×＝r2，

2解得r＝507(m)．

5.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20 n mile的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了 30 min后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向上，则海轮的速度为________n mile/min.

解析：由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°， ACAB

由正弦定理得＝，

sin Bsin∠ACB

AB·sin B20×sin 60°

所以AC＝＝＝106(n mile)，

sin 45°sin∠ACB1066

所以海轮航行的速度为＝(n mile/min)．

303答案：

6

3

6.某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上，则点B与电视塔的距离是________km.

15

解析：如题图，由题意知AB＝24×＝6(km)，在△ABS中，∠BAS＝30°，∠ABS＝180°

60BSAB

－75°＝105°，∴∠ASB＝45°，由正弦定理知＝，

sin 30°sin 45°

∴BS＝

AB·sin 30°

＝32(km)．

sin 45°

答案：32

7.一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行(23－2)n mile 到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行4 n mile到达海岛 C.

(1)求AC的长；

(2)如果下次航行直接从A出发到达C，求∠CAB的大小． 解：(1)由题意，在△ABC中，

∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，AB＝(23－2)n mile，BC＝4 n mile， 根据余弦定理得，

AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC ＝(23－2)2＋42＋(23－2)×4＝24， 所以AC＝26.

故AC的长为26 n mile.

3

4×BC×sin∠ABC22

(2)由正弦定理得，sin∠CAB＝＝＝，所以∠CAB＝45°. AC2268.已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一座发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝100 m和BN＝200 m，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了1003 m后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B

处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．

解：在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100， ∴PM＝1003.

连接QM，在△PQM中，∠QPM＝60°，PQ＝1003， ∴△PQM为等边三角形，∴QM＝1003.