高等数学训练之无穷级数. 下载本文

第五讲 无穷级数 §1 概念及其性质

无穷级数(简称级数):∑un=u1+u2+ +un+ ,un称为第n项式通项一般项。 n=1 n∞

iSn=u1+u2+ +un=∑u

i=1为∑un的前n项和。 n=1

∞∞

定义:若limSn=S(有限数),则称级数∑un收敛,S为其和,即∑un=S; n→∞n=1n=1 ∞

若limSn不存在,则称级数∑un发散。 n→∞n=1 例1:判别下列级数的敛散性,收敛时求其和。 ∞ (1

)∑

n=11∞; (2)∑n=1n∞(n+1)!; (3)∑ n=11n(n+1)(n+2);

提示:将通项un写成两项差的形式,即un=vn-vn-1。 解:(1

)un=

Sn= ∞=

n1+)

+ +

=1→∞ (n→∞) ∴∑u n=1发散。

(2)un=(n+1)-1=n+1!()1n!-1 (n+1)!;

?1?1??11?11?=1-→1 (n→∞) Sn= 1-?+ -?+ + -? ?2!2!3!n!n+1!n+1!()()?????? ∞ ∴∑u n=1n=1。

?1?11=?- (3)un=? n(n+1)(n+2)2?n(n+1)(n+1)(n+2)?1

Sn=

1??11??11 -+-? ?

2??1?22?3??2?33?4????11?+ +-? ?? ???n(n+1)(n+1)(n+2)??? ?1?111

=?-→(n→∞) ?

2?1?2(n+1)(n+2)?4 ∞

∴性质: ∑ n=1 un=

14 。

∞∞

① 设c≠0为常数,则∑cun与∑un具有相同的敛散性; n=1 n=1 ∞ ∞ ∞

② 设∑un=S,∑vn=σ,则∑(un±vn)=S±σ; n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ ∞

设∑un收敛,∑vn发散,则∑(un±vn)发散; n=1 n=1

n=1 ∞ ∞ ∞

设∑un与∑vn均发散,则∑(un±vn)具体分析。

n=1 n=1 n=1 ∞

③ ∑un去掉或添加有限项不影响其敛散性,但收敛时其和可能要改变; n=1 ∞

④ 设∑un收敛,则对其各项任意加括号后所得新级数仍然收敛于原级数的和; n=1 ∞ ∞