第五讲 无穷级数 §1 概念及其性质

∞

无穷级数（简称级数）：∑un=u1+u2+ +un+ ，un称为第n项式通项一般项。 n=1 n∞

iSn=u1+u2+ +un=∑u

i=1为∑un的前n项和。 n=1

∞∞

定义：若limSn=S（有限数），则称级数∑un收敛，S为其和，即∑un=S； n→∞n=1n=1 ∞

若limSn不存在，则称级数∑un发散。 n→∞n=1 例1：判别下列级数的敛散性，收敛时求其和。 ∞ （1

）∑

n=11∞； （2）∑n=1n∞(n+1)!； （3）∑ n=11n(n+1)(n+2)；

提示：将通项un写成两项差的形式，即un=vn-vn-1。 解：（1

）un=

Sn= ∞=

n1+)

+ +

=1→∞ (n→∞) ∴∑u n=1发散。

（2）un=(n+1)-1=n+1!()1n!-1 (n+1)!；

?1?1??11?11?=1-→1 (n→∞) Sn= 1-?+ -?+ + -? ?2!2!3!n!n+1!n+1!()()?????? ∞ ∴∑u n=1n=1。

?1?11=?- （3）un=? n(n+1)(n+2)2?n(n+1)(n+1)(n+2)?1

Sn=

1??11??11 -+-? ?

2??1?22?3??2?33?4????11?+ +-? ?? ???n(n+1)(n+1)(n+2)??? ?1?111

=?-→(n→∞) ?

2?1?2(n+1)(n+2)?4 ∞

∴性质： ∑ n=1 un=

14 。

∞∞

① 设c≠0为常数，则∑cun与∑un具有相同的敛散性； n=1 n=1 ∞ ∞ ∞

② 设∑un=S，∑vn=σ，则∑(un±vn)=S±σ； n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ ∞

设∑un收敛，∑vn发散，则∑(un±vn)发散； n=1 n=1

n=1 ∞ ∞ ∞

设∑un与∑vn均发散，则∑(un±vn)具体分析。

n=1 n=1 n=1 ∞

③ ∑un去掉或添加有限项不影响其敛散性，但收敛时其和可能要改变； n=1 ∞

④ 设∑un收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍然收敛于原级数的和； n=1 ∞ ∞