解 由B???A得
?B?dS????Ad?SSS?? ?Ad? l （1）
Cn ?l A1媒质① 媒质② 在媒质分界面上任取一点P，围绕点P任作一个跨越分界面
的狭小矩形回路C，其长为?l、宽为?h，如题5.10图所示。将式（1）应用于回路C上，并令?h趋于零，得到
??A?dl?A??l?A??l?lim?12C?h?0SB?dS
C ?h 由于B为有限值，上式右端等于零，所以 由于矢量?l平行于分界面，故有
A2 题5.10图
A1??l?A2??l?0
A1t?A2t
5.11 一根极细的圆铁杆和一个很薄的圆铁盘样品放在磁场
（铁的磁导率为?）。求两样品内的B和H；若已知B0?1T、B0中，并使它们的轴与B0平行，
??5000?0，求两样品内的磁化强度M。
解 对于极细的圆铁杆样品，根据边界条件H1t?H2t，有
H?H0?B0?0
?B??H?B0
?0B1?4999 M??H?(?1)B0??0?0?0?0对于很薄的圆铁盘样品，根据边界条件B1n?B2n，有
B?B0
H?B??B0?
B114999 M??H?(?)B0??0?0?5000?05．12 如题5.12图所示，一环形螺线管的平均半径r0?15cm，其圆形截面的半径a?2cm，鉄芯的相对磁导率?r?1400，环上绕N?1000匝线圈，通过电流I?0.7A。
（1）计算螺旋管的电感；
（2）在鉄芯上开一个l0?0.1cm的空气隙，再计算电感。（假设开口后鉄芯的?r不变） （3）求空气隙和鉄芯内的磁场能量的比值。
解 （1）由于a??r0，可认为圆形截面上的磁场是均匀的，且等于截面的中心处的磁场。由安培环路定律，可得螺旋管内的磁场为 H?NI 2?r022?aNI
与螺线管铰链的磁链为 ??NS?H?故螺线管的电感为
2r02a 2o l0 r0 L??I??aN2r022?1400?4??10?0.02?1000?2.346H
2?0.15?7（2）当铁芯上开有小空气隙时，由于可隙很小，可忽略边缘
I 题5.12图
效应，则在空气隙与鉄芯的分界面上，磁场只有法向分量。根据边界条件，有B0?B??B，但空气隙中的磁场强度H0与铁芯中的磁场强度H?不同。根据安培环路定律，有
H0l0?H?(2?r0?l0)?NI
又由于B0??0H0、B???0?rH?及B0?B??B，于是可得 B?22???aNI 0r所以螺线管得磁链为 ??NSB??rl0?(2?r0?l0)?0?rNI
?rl0?(2?r0?l0)故螺线管得电感为
??0?ra2N24?2?10?7?1400?0.022?10002L????0.944H
I?rl0?(2?r0?l0)1400?0.001?2???0.15?0.001? （3）空气隙中的磁场能量为 Wm0?1?0H02Sl0 212 鉄芯中的磁场能量为 Wm???0?rH?S(2?r0?l0)故
Wm0Wm?2?rl01400?0.001???1.487 2?r0?l02??0.15?0.0015.13 证明：单匝线圈励磁下磁路的自感量为L0?1Rm，Rm为磁路的磁阻，故NI激励下，电感量为L?N2R。磁路中单匝激励下的磁场储能W?R?22，则NI激励下的
mm0m0Wm?N2Wm0。
解 在单匝线圈励磁下，设线圈中的电流为I，有?0?L0I?2NI
的磁通为 ??N?0?Rm22N 故电感量为 L??IRmI。则在NI激励下，磁路Rm?2R1I2在单匝线圈励磁下，Wm0?L0I??m?02。在NI激励下，磁路的磁能为
22Rm212N2I2N2Rm2Wm?LI???0?N2Wm0
22Rm2l1① I15.14 如题5.14图所示，两个长的矩形线圈，放置在同
一平面上，长度分别为l和l2，宽度分别为w和w2，两线
11 w1
r ② S w2圈最近的边相距为S，两线圈中分别载有电流I1和I。设
2l1>>l2，且两线圈都只有一匝，略去端部效应。证明：两线圈的互感是
M?l2 ?0l2(S?w1)(S?w2) ln2?S(S?w1?w2)题5.14图
解 由于l>>l2，因此可近似认为线圈①中的电流在线1圈②的回路中产生的磁场与两根无限长的平行直线电流产
生的磁场相同。线圈①中的电流I在线圈②的回路中产生的磁场为
1B12??0I111(?) 2?rr?w1与线圈②交链的磁通?12为
?0I1l2?S?w2S?w1?w2? 11(?)ldr?ln?ln2????rr?w2?SS?w1?1?S?0I1l2(S?w1)(S?w2) ln2?S(S?w1?w2)?l?(S?w1)(S?w2) 故两线圈间的互感为 M?12?02lnI12?S(S?w1?w2) 5.15 长直导线附近有一矩形回路，回路与导线不共面，如题5.15图(a)所示。证明：直导线
?I?12?012?与矩形回路间的互感是
S?w2M??
?0aR ln221222122?[2b(R?C)?b?R]A B a A R b B R P Q C b P C Q
R1 题5.15图(a)
题5.15图(b)
解 设长直导线中的电流为I，则其产生的磁场为 B?由题5.15图(b)可知，与矩形回路交链的磁通?为
R1?0I 2?r?I?aI??0?B?dS?02?S2??R?aIR1dr?0ln1 r2?R其中 R?[C2?(b?R2?C2)2]12?[R2?b2?2bR2?C2]12
1故直导线与矩形回路间的互感为
?0aR1?0a[R2?b2?2bR2?C2]12
M??ln?ln?I2?R2?RmaR -0ln221222122p[2b(R-C)+b+R]5.16 如题5.16图所示的长螺旋管，单位长度密绕n匝线圈，通过电流I，鉄心的磁导率为?、截面积为S，求作用在它上面? ?I x 题5.16图
的磁场力。
解 由安培环路定理可得螺旋管内的磁场为 H?nI
设铁心在磁场力的作用下有一位移dx，则螺旋管内改变的磁场能量为
dWm??2H2Sdx??02H2Sdx?I?c1(???0)n2I2Sdx 2则作用在鉄心上的磁场力为 Fx?磁力有将铁心拉进螺旋管的趋势。
dWmdx?1(???0)n2I2S 2