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把x==p代入上述方程可得

y==q.

因为p+q>0,所以化为b>

.

2

+>0,

又0

2

即-1<-b<-,

2

所以0<1-b<,

所以e==c=∈(0,).

答案:(0,)

12.(2017·兰州模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为.直线

y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N. (1)求椭圆C的方程;

(2)当△AMN的面积为时,求k的值.

解:(1)由题意得解得b=,

所以椭圆C的方程为+=1.

(2)由得(1+2k)x-4kx+2k-4=0. 设点M, N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),

2222

x1+x2=所以|MN|=

,x1x2=,

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=

=.

又因为点A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离d=,所以△AMN的面积为

S=|MN|·d=,

由

解得k=±1.

=,

13.(2017·深圳市一模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左右顶点分别为A1,A2,上下顶点分别

为B2,B1,左右焦点分别为F1,F2,其中长轴长为4,且圆O:x+y=

22

为菱形A1B1A2B2的内切圆.

(1)求椭圆C的方程;

(2)点N(n,0)为x轴正半轴上一点,过点N作椭圆C的切线l,记右焦点F2在l上的射影为H,

若△F1HN的面积不小于n,求n的取值范围.

2

解: (1)由题意知2a=4,所以a=2, 所以A1(-2,0),A2(2,0), 因为B1(0,-b),B2(0,b),

所以直线A2B2的方程为+=1,即bx+2y-2b=0,

所以=,解得b=3,

2

故椭圆C的方程为+=1.

(2)由题意,可设直线l的方程为x=my+n,m≠0, 联立

2

2

2

消去x得(3m+4)y+6mny+3(n-4)=0. 由直线l与椭圆C相切,得

222

Δ=(6mn)-4×3×(3m+4)(n-4) =0,

22

化简得3m-n+4=0.(*)

设点H(mt+n,t),由(1)知F1(-1,0),F2(1,0), 教育配套资料K12

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则·=-1,

解得t=-,

所以△F1HN的面积

= (n+1) -把*式代入,消去n化简得

=

=|m|,

,

所以|m|≥n=

2

(3m+4),

2

解得≤|m|≤2,

2

即≤m≤4,

从而≤≤4,又n>0,

所以≤n≤4,

故n的取值范围为[,4].

14.(2017·淮北市一模)已知椭圆C1:

2

2

+=1(a>b>0)的离心率e=,且过点(2,),直线

l1:y=kx+m(m>0)与圆C2:(x-1)+y=1相切且与椭圆C1交于A,B两点.

(1)求椭圆C1的方程;

(2)过原点O作l1的平行线l2交椭圆于C,D两点,设|AB|=λ|CD|,求λ的最小值. 解:(1)由题意得

结合a=b+c, 解得a=4,b=2,

2

2

2

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故椭圆C1的标准方程为+=1.

(2)联立

222

得(1+4k)x+8kmx+4(m-4)=0, Δ>0恒成立,

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则得|x1-x2|=,

所以|AB|=·,

把l2:y=kx代入C1:+=1,得x3,4=,

所以|CD|=|x3-x4|=·,

所以λ===,

又直线l1与圆C2相切,

所以d==1,平方化为k=.

所以λ===≥,

当m=,k=-时,λ取最小值.

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