?2?记bn?
2n，求数列?bn?的前n项和Tn.
an
18.（本小题满分15分）
设?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，其外接圆的直径为1, b2?c2?sin2A?2sin2B?sinC，且角B为钝角.
（1）求B?A的值；
（2）求2a2?c2的取值范围．
19．（本小题满分16分）
共享汽车的出现为我们的出行带来了极大的便利，当然也为投资商带来了丰厚的利润。现某公司瞄准这一市场，准备投放共享汽车。该公司取得了在10个省份投放共享汽车的经营权，计划前期一次性投入16?10元. 设在每个省投放共享汽车的市的数量相同（假设每个省的市的数量足够多），每个市都投放1000辆共享汽车.由于各个市的多种因素的差异，在第n个市的每辆共享汽车的管理成本为(kn?1000)元(其中k为常数)．经测算，若每个省在5个市投放共享汽车，则该公司每辆共享汽车的平均综合管理费用为1920元.（本题中不考虑共享汽车本身的费用）
注：综合管理费用＝前期一次性投入的费用＋所有共享汽车的管理费用,平均综合管理费用＝综合管理费用÷共享汽车总数. （1）求k的值；
（2）问要使该公司每辆共享汽车的平均综合管理费用最低，则每个省有几个市投放共享汽车？此时每辆共享汽车的平均综合管理费用为多少元？ 20．（本小题满分16分）
已知数列{an}的前n项和为Sn,a4=2且2Sn?n?nan,数列?bn?满足bn?10an?22n6?n?N?,
?(1)证明：数列{an}为等差数列；
(2)是否存在正整数p，q(1 一、填空题： 数 学 参 考 答 案 11 2. (?1,2) 3. 23 4.2 5.2n 6. 4 7. ? 442088. 9. 43 10. ②④ 11. 12. 503?50 13. 5?26 41131.14. ??2?,??? ?15?二、解答题： 15．证明：（1）在正方体ABCD?A1B1C1D1中, AA1//BB1，∵P、Q分别为棱AA1、BB1的中点，∴AP//BQ，∴四边形ABQP为平行四边形，∴PQ//AB ……3分 ∵PQ//AB，PQ?平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PQ//平面ABCD。……6分 （2）在正方体ABCD?A1B1C1D1中,BB1?AB，由(1)知PQ//AB， ∴BB1?PQ。 ………………9分 同理可得BB1?QR. ∵BB1?PQ，BB1?QR，PQQR?Q，PQ?平面PQR，QR?平面PQR， ∴BB1?平面PQR。 ………………12分 ∵BB1?平面PQR，BB1?平面BB1D1D，∴平面PQR?平面BB1D1D。………14分 16.解：（1） ???3???(0,),????(,),又 2444?2?72cos(??)??sin(??)?, ……3分 4104102??3??[sin(??)?cos(??)]? .…………6分 ?sin??sin[(??)?]?244544（2）??(0,34),sin??,?cos??, .…………7分 255221， cos??，??(0,?)，?sin??33427,cos2???， … ………………………11分 99??sin2???cos(??2?)?cos??cos2??sin??sin2? ?47342122?28(?)?? .…………………………14分 595945 17．解： ?1??a1a5?8a2，?a2a4?8a2，?a4?8 ┄┄2 分 又3a4,28,a6成等差数列，3a4?a6?56，?a6?32 ┄┄4 分 q?2a6?4，q?0，?q?2 ┄┄6 分 a4n?4?2n?1 ┄┄┄7分 ?an?8?22n2n?1?b???n?2??n??an2n?1?2?n?2 ?1??1??1?Tn?1????2????3?????2??2??2??101?1???n?1?????2?n?3?1??n????2?n?2?① n?11?1??1??1??Tn?1????2????3????2?2??2??2??101012?1???n?1?????2??1?????2?n?2n?2?1??n????2?n?1?② ┄┄10 分 1?1??1??1?25. -②：?Tn??????????2?2??2??2???1?n?2?1????n?11??2????1???Tn??n??? 12?2?1?2?1??n????2? ┄12 分 ?1??Tn?8??n?2?????2?18．解（1） n?2 ┄┄15 分 三角形ABC外接圆的直径为1， ?由b2?c2?sin2A?2sin2B?sinC得 ?b2?c2?a2?2sin2B?sinC …………………………3分 ?2bccosA?2sin2B?sinC ?2bccosA?2bcsinB，?cosA?sinB ?sin(?2?A)?sinB ………………………6分 又因B为钝角，所以 ?2??2?A??， 所以 ?2?A?B，所以B?A??2. …………………………8分 （2）由（1）知，C???(A?B)???(2A?所以A?(0,?2)??2?2A?0, ?4) ……………………10分 于是2a2?c2=2sin2A?sin2C?2sin2A?sin2(?2?2A)?sin2A?cos22A， 13?2sin2A?(1?2sin2A)2?4sin4A?2sin2A?1?4(sin2A?)2?. ………13分 44因为A?(0,?4)，所以sinA?(0,3421)，sin2A?(0,)， 2222因此2a?c的取值范围是[,1) …………15分 19. 解：（1） 每个省在5个市投放共享汽车，则所有共享汽车为10?1000?5辆，所有共享汽车管理费用总和为[(k?1000)?(2k?1000)?(3k?1000)?(4k?1000)?(5k?1000)]?1000?10 ?(15k?5000)?10000?(3k?1000)?50000， …………4分 所以 16000000+(3k?1000)?50000=1920，解得k?200。 …………7分 10?1000?5*（2）设在每个省有n(n?N)个市投放共享汽车，每辆共享汽车的平均综合管理费用为f(n)，由题设可知 f(n)=16000000+[(200?1000)?(400?1000)????+(200n?1000)]?1000?10 …10分 10?1000?n16001600?1100?2100n??1100?1900， ………13分 nn所以f(n)=100n?当且仅当100n=1600，即n?4时，等号成立． ………15分 n答：每个省有4个市投放共享汽车时，每辆共享汽车的平均综合管理费用最低，此时每辆共享汽车的平均综合管理费用为1900元． ………16分 20. 解 (1) 由已知得2Sn= nan－n① , 故当n=1时，2S1=a1－1，即a1＝－1， …………1分 又2Sn＋1=( n＋1)an＋1－(n＋1)②， ②－①得2Sn＋1－2Sn=(n＋1)an＋1－nan－1， 即(n－1)an＋1－nan－1=0 ③， ………………………4分 又nan＋2－(n＋1)an＋1－1=0④ ④－③得，nan＋2－2nan＋1＋nan=0， 即an＋2＋an=2an＋1，所以数列{an}是等差数列. ………………………6分 (2)因为a1＝－1，a4=2，所以公差为1 nan＝－1＋(n－1)×1=n－2，所以bn?102 ………………………8分 假设正整数p，q(1 2n2p1q??q，??? ………………………9分 p222q2p1?q?p??0 2222p1?p????? 222(n?1)2n2?2n又??n?n?1 n?1222?2n??n?nn?2n?2??当时,关于递减,(同理当时,?n?关于n递减) ………………12分 n?2??2?可得 ?当p?2时,符合????,此时 当p?3时, 符合????,此时 当p?4时, q1?,易得q?2,不满足p?q ……………………13分 2q2q1?,此时q?4 ………………………14分 q422p81??,不符合???? ………………………15分 p4222综上: 存在p?3,q?4符合. ………………………16分