如图，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，
?3?A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，B1(0，4，4)，D?，2，0?. ?2?
→→
(1)因为AC＝(－3，0，0)，BC1＝(0，－4，4)，
→→
所以AC·BC1＝0，所以AC⊥BC1. 6分 (2)因为CB1与C1B的交点为E，所以E(0，2，2)． →→
3??因为DE＝?－，0，2?，AC1＝(－3，0，4)， ?2?→→→→1
所以DE＝AC1，所以DE∥AC1.
2因为DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，
所以AC1∥平面CDB1. 12分
20解：①由已知：
1分 annbn?n?1,an?1?2an?22
3分 an?1an11nbn?1?bn?n?n?1?n（an?1?2an)?n?2?12222 4分 a1b1?0?12 又
??bn?是以1为公差，以1为首项的等差数列. 6分
② 由①知：b?n 7分
n
ann?1?n?1?n,即an?n?22 8分
??an?的前n项和为：Sn?a1?a2???an
?1?20?2?21?3?22???（n?1）?2n?2?n?2n?1
2Sn?1?21?2?22?3?23???(n?1)?2n?1?n?2n 10分
?Sn?2Sn?1?(21?22?23???2n?1)?n?2n
?-Sn??1?(1?n)?2n 11分 ?Sn?1?(n?1)?2n 12分
因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
又DE∩BD＝D，所以AC⊥平面BDE. 3分 (2)解：因为DE⊥平面ABCD，
所以∠EBD就是BE与平面ABCD所成的角， 即∠EBD＝60°， 所以
ED
＝3. BD
21.(1)证明：因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC，
由AD＝3，得DE＝36，AF＝6.
如图，分别以DA，DC，DE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(3，0，0)，F(3，0，6)，→→
E(0，0，36)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，所以BF＝(0，－3，6)，EF＝(3，0，－26)．
设平面BEF的一个法向量为n＝(x，y，z)， →
n·BF＝0，?－3y＋6z＝0，则即?
→?3x－26z＝0.n·EF＝0，
???
令z＝6，则n＝(4，2，6)．
因为AC⊥平面BDE， 6分 →
所以CA＝(3，－3，0)为平面BDE的一个法向量，
→
→n·CA613
所以cos〈n，CA〉＝＝＝.
→26×3213|n||CA|故二面角F-BE-D的余弦值为
13
. 8分 13
→
(3)解：依题意，设M(t，t，0)(t＞0)，则AM＝(t－3，t，0)， 因为AM∥平面BEF， →
所以AM·n＝0，
即4(t－3)＋2t＝0，解得t＝2.
→2→
所以点M的坐标为(2，2，0)，此时DM＝DB，
3
所以点M是线段BD上靠近点B的三等分点． 12分
22.(1)证明：在Rt△ABC中，
因为EF∥BC，所以EF⊥AB，所以EF⊥EB，EF⊥EP， 又因为EB∩EP＝E，EB，EP?平面PEB，所以EF⊥平面PEB.
又因为PB?平面PEB，所以EF⊥PB. 4分 (2)解：在平面PEB内，过点P作PD⊥BE于点D， 由(1)知EF⊥平面PEB，所以EF⊥PD，
又因为BE∩EF＝E，BE，EF?平面BCFE，所以PD⊥平面BCFE. 在平面PEB内过点B作直线BH∥PD，则BH⊥平面BCFE.
→→→
如图所示，以B为坐标原点，BC，BE，BH的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．
设PE＝x(0＜x＜4)， 又因为AB＝BC＝4， 所以BE＝4－x，EF＝x. 在Rt△PED中，∠PED＝60°， 所以PD＝
3113
x，DE＝x，所以BD＝4－x－x＝4－x， 2222
33??
所以C(4，0，0)，F(x，4－x，0)，P?0，4－x，x?.
22??
→→?33?
从而CF＝(x－4，4－x，0)，CP＝?－4，4－x，x?. 8分
22??设n1＝(x0，y0，z0)是平面PCF的一个法向量，
?x（x－4）＋y（4－x）＝0，?n·→CF＝0，?
所以?即??4－3x?y＋3xz＝0， →－4x＋?2?2????n·CP＝0，?
0
0
1
0
0
0
1
?x0－y0＝0，所以?
?3y0－z0＝0，
取y0＝1，得n1＝(1，1，3)是平面PFC的一个法向量． 又平面BFC的一个法向量为n2＝(0，0，1)， 设二面角P-FC-B的平面角为α，
?n1·n2?＝15. 则cos α＝|cos〈n1，n2〉|＝???|n1||n2|?5
因此当点E在线段AB上移动时，二面角P-FC-B的平面角的余弦值为定值，且定值为
15. 5
12分