高中数学求函数值域的7类题型和16种方法 下载本文

111?17??y?cos??sin???sin2??sin??1???sin????

4?1622?22∴当sin??1时,y4max?17

16当sin???1时,ymin??2

17此时tan?都存在,故函数的值域为??2,? ?16?2??注:此题先用换元法,后用配方法,然后再运用sin?的有界性。 例3.求函数 y?2x(x?0) 的值域 解:(图象法)如图,值域为?0,1?

例4.求函数y????1??3??x2?2x 的值域

t?1?22解(复合函数法):令t??x?2x??(x?1)?1,则y???(t?1)

?3?由指数函数的单调性知,原函数的值域为?,??? 例5.求函数y?x?1?x2的值域 解(三角代换法): ??1?3???1?x?1 ?设x?cos????0,??

y?cos??sin??cos??sin??2sin(??)??1,24

?原函数的值域为?1,2?????小结:

(1)若题目中含有a?1,则可设

a?sin?,??2????22(或设a?cos?,0????)

2(2)若题目中含有a?b?1 则可设a?cos?,b?sin?,其中0???2?

(3)若题目中含有1?x2,则可设x?cos?,其中0???? (4)若题目中含有1?x2,则可设x?tan?,其中??2????2

(5)若题目中含有x?y?r(x?0,y?0,r?0),则可设x?rcos2?,y?rsin2?。其中 ???0,????? 2?x2?1例6、求函数y?2 的值域

x?1解法一:(逆求法)?x?2 1?y?01?y??1?y?1

?原函数的值域为??11? 解法二:(复合函数法)设x?1?t , 则 y?1?222?1?(t?1)

tx2?12?2??1?y?1 t??1,1??原函数值域为?t?1?0?解法三:(判别式法)原函数可化为 (y?1)x2?0?x?y?1?0 1) y?1时 不成立 2) y?1时,??0?0?4(y?1)(y?1)?0??1?y?1

??1?y?1

综合1)、2)值域{y|?1?y?1}

解法四:(三角代换法)?x?R?????设x?tan?????,?,则

?22?1?tan2?y????cos2??2?????,???cos2????1,1? 21?tan? ?原函数的值域为{y|?1?y?1}

小结:

ax2?bx?c已知分式函数y?(a2?d2?0) ,如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域;2dx?ex?f如果是条件定义域,用判别式法求出的值域要注意取舍,或者可以化为y?

二次式一次式(或y?)一次式二次式

的形式,采用部分分式法,进而用基本不等式法求出函数的最大最小值;如果不满足用基本不等式的条件,转化为利用函数y?x?a(x?0)的单调性去解。 x注:此题先用换元法,后用配方法,然后再运用sin?的有界性。

总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。 五、与函数值域有关的综合题

例1设计一幅宣传画,要求画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm的空白,左右各留5 cm空白,怎样确定画面的高与宽尺寸,才能使宣传画所用纸张面积最小?

如果要求λ∈[,23],那么λ为何值时,能使宣传画所用纸张面积最小? 34解 设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx2=4840,设纸张面积为S cm2, 则S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160, 将x=

2210?5代入上式得 S=5000+4410 (8?+

5?),

8cm当8?=

?,即λ=(<1)时S取得最小值

5588此时高 x=

4840?5=88 cm, 宽 λx=×88=55 cm

85cm[来源学科网][来源:Zxxk.Com]5cm

8cm2323如果λ∈[,],可设≤λ1<λ2≤, 3434则由S的表达式得 [来源学科网Z,X,X,K] S(?1)?S(?2)?4410(8?1??4410(?1??2)(8?55?1)?8?2?5?2)

?1?2又?1?2≥

525>0, ?,故8-

38?1?2

∴S(λ1)-S(λ2)<0,∴S(λ)在区间[,从而对于λ∈[,23]内单调递增  34232],当λ=时,S(λ)取得最小值

334232],当λ=时,所用纸

334答 画面高为88 cm,宽为55 cm时,所用纸张面积最小 如果要求λ∈[,张面积最小

x2?2x?a例2已知函数f(x)=,x∈[1,+∞)

x1(1)当a=时,求函数f(x)的最小值

2(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围

11时,f(x)=x++2 22x∵f(x)在区间[1,+∞)上为增函数,

解 (1) 当a=

[来源学科网]∴f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为f(1)=(2)解法一 在区间[1,+∞)上,

7 2x2?2x?af(x)= >0恒成立?x2+2x+a>0恒成立

x设y=x2+2x+a,x∈[1,+∞)[来源学科网ZXXK]

[来源学科网]∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1递增,

∴当x=1时,ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a>0时,函数f(x)>0恒成立, 故a>-3  解法二 f(x)=x+

a+2,x∈[1,+∞) x当a≥0时,函数f(x)的值恒为正;

当a<0时,函数f(x)递增,故当x=1时,f(x)min=3+a,

当且仅当f(x)min=3+a>0时,函数f(x)>0恒成立,故a>-3

[来源:Z#xx#k.Com]

例3设m是实数,记M={m|m>1},f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+

1) m?1(1)证明 当m∈M时,f(x)对所有实数都有意义;反之,若f(x)对所有实数x都有意义,则m∈M (2)当m∈M时,求函数f(x)的最小值

(3)求证 对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1 (1)证明 先将f(x)变形 f(x)=log3[(x-2m)2+m+当m∈M时,m>1,∴(x-m)2+m+故f(x)的定义域为R

反之,若f(x)对所有实数x都有意义,则只须x2-4mx+4m2+m+4(4m2+m+

1], m?11>0恒成立, m?11>0,令Δ<0,即16m2-m?11)<0,解得m>1,故m∈M m?11(2)解 设u=x2-4mx+4m2+m+,

m?1∵y=log3u是增函数,∴当u最小时,f(x)最小  而u=(x-2m)2+m+

1, m?11, m?1显然,当x=m时,u取最小值为m+此时f(2m)=log3(m+

1)为最小值 m?111(3)证明 当m∈M时,m+=(m-1)+ +1≥3,

m?1m?1当且仅当m=2时等号成立 ∴log3(m+

1)≥log33=1 m?1