专业课件 第一章 引论

计算方法解决问题的主要思想

计算方法的精髓：以直代曲、化繁为简 1、采用“构造性”方法

构造性方法是指具体地把问题的计算公式构造出来。这种方法不但证明了问题的存在性，而且有了具体的计算公式，就便于编制程序上机计算。 2、采用“离散化”方法

把连续变量问题转为求离散变量问题。

例：把定积分离散成求和，把微分方程离散成差分方程。 3、采用“递推化”方法

将复杂的计算过程归结为简单过程的多次重复。由于递推算法便于编写程序，所以数值计算中常采用“递推化”方法。 4、采用“近似代替”方法

计算机运算必须在有限次停止，所以数值方法常表现为一个无穷过程的截断，把一个无限过程的数学问题，转化为满足一定误差要求的有限步来近似替代。

算法的可行性分析

时间复杂度、空间复杂度

分析算法的复杂性（包含时间复杂性和空间复杂性）。 时间复杂度是算法耗费时间的度量。

算法的空间复杂度是指算法需占用存储空间的量度

算法的可靠性分析

良态算法、病态算法

一个算法若运算过程中舍入误差的积累对最后计算结果影响很大，则称该算法是不稳定的或病态算法，反之称为稳定算法或良态算法。

误差的来源

1、模型误差

我们所建立的数学模型是对实际问题进行抽象简化而得到的。因而总是近似的，这就产生了误差。这种数学模型解与实际问题的解之间出现的误差，称为模型误差。 2、观测误差

观测到的数据与实际数据之差。 3、截断误差

数学模型的准确解与计算方法的准确解之间的误差。 4、舍入误差

由于计算机字长有限，原始数据在计算机上表示会产生误差，每次计算又会产生新的误差，这种误差称为舍入误差。

绝对误差、相对误差

定义2 记x*为x的近似数，称E(x)=x-x*为近似数x*的绝对误差，|E(x)|为绝对误差限。 定义3 称Er(x)=(x-x*)/x为近似数x*的相对误差。实际运算时也将Er*(x)=(x-x*)/x*称为近似数x*的相对误差。

课件

专业课件 “四舍五入”：即尾数是4或以下则舍去，尾数是6或以上则进1，如果尾数是5，则规定：前面一位数字是偶数则舍去，奇数则进1。

定义4 将近似数x*写为十进制形式

n *m?1?jx??10a10,m为整数，a1?0j

j?1

若其中x*的最末一位数an是经过“四舍五入”得到的，即

1 x?x*?10m?n?12

（最后一位是因为进1，实际上只进0.5或舍去最多0.5。） 则称近似数x*具有n位有效数字。

近似数x*的有效数字位数n越大，则近似数的绝对误差限便越小，若近似数具有n位有效数字，则相对误差限为 10??n?1?* Erx?2a1

???第二章 一元非线性代数方程的求解

对半分法

适用条件：假设函数f在[a,b]上连续(记为f∈C[a,b])，f在区间端点异号，即f(a)*f(b)<0。求解方法：

1、将区间[a,b]分半，取中点(a+b)/2给x*，求f(x*)。若| f(x*) |≤ε1 ，则x*是f(x)=0的近似解，输出x* ，停止计算，否则作下一步。

2、计算f(a)*f(x*)，若f(a)*f(x*)<0，则b= x* ，否则a= x* ，形成一个有f(x)=0的解的新的区间，其长度比原区间少一半。

3、对新的含根区间重复上述步骤直到区间长度|a-b|<ε2或| f(x*) |≤ε1 。

一般迭代法

如何得到迭代格式；

将方程f(x)=0化为一个等价同解方程。例f(x)=φ(x)-x可化为x=φ(x)，且φ(x)是连续函数。因此求f的解变为求曲线y=φ(x)与直线y=x交点的横坐标。解曲线y=φ(x)与直线y=x交点的横坐标。给定一个初值x0(x’的初始近似值)。由曲线y=φ(x)得xn+1=φ(xn)，n=0，1，2，…。把初始值x0代入上式的右端得到x1 ，再将x1代入右端得到x2 ，…，如此重复，得到迭代数列{xn} ，其中xn+1=φ(xn) ，n=0，1，2，…称为解方程f(x)=0的一个迭代格式，x0称为迭代初值。

课件

专业课件 如何判断是否压缩映射；

收敛阶；

压缩映射定理

定理2 迭代收敛定理或压缩映射定理、不动点定理 设迭代函数φ(x)在[a,b]上具有连续的一阶导数，且 (1)当x∈[a,b]时，φ(x)∈[a,b]

(2)存在正数L<1，使对任意x∈[a,b]有|φ’(x)| ≤L<1成立，则 (1)方程x=φ(x)在[a,b]上有唯一不动点(根)x’，且对任取初始近似值x0∈[a,b] ，迭代方法xn+1=φ(xn) (n=0,1,2, …)产生的序列{xn}均收敛，且收敛于这个不动点x’，即

(2)误差估计式成立：

课件

专业课件 (3)误差估计式成立：

加速收敛的埃特金法

迭代格式；

收敛阶

埃特金算法为平方收敛

牛顿法

迭代格式；

收敛条件；

收敛阶

牛顿迭代格式的收敛阶是2，即平方收敛。

课件

专业课件 弦截法

双点弦截法；单点弦截法；

收敛条件；与牛顿法一样，当在根的领域内有直至二阶的连续导数且 时，弦截法具有局部收敛性 收敛阶

弦截法的收敛速度比牛顿法稍慢，但也是超线性收敛，其收敛阶为1.618。

第三章 解线性代数方程组的直接法

高斯消元法

消元步骤：（这里只是简述，具体请参看ppt）

第一步：消元过程，即把原方程组变为上三角方程组的过程

第二步：把已求得的x回代到方程组的其他方程中，从而求得另外的x，此过程称为回代过程，从而得出方程组的解 公式

课件