2011年全国初中数学竞赛试题(2) 下载本文

2011年全国初中数学竞赛试题

考试时间:2011年3月20日9:30——11:30 满分:150分 答题时注意:

1、用圆珠笔或钢笔作答; 2、解答书写时不要超过装订线; 3、草稿纸不上交。

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分。每道小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分) 1、设x?5?3,则代数式x(x?1)(x?2)(x?3)的值为( ) 2A、0 B、1 C、﹣1 D、2

2、对于任意实数a, b, c, d, 定义有序实数对(a, b)与(c, d)之间的运算“△”为:(a, b)△(c, d)=(ac+bd, ad+bc)。如果对于任意实数u, v,都有(u, v)△(x, y)=(u, v),那么(x, y)为( ) A、(0, 1) B、(1, 0) C、(﹣1, 0) D、(0, ﹣1)

3、已知A,B是两个锐角,且满足sin2A?cos2B?t,cos2A?sin2B?t2,则实数t所有可能值的和为( )

A、? B、? C、1 D、4、如图,点D、E分别在△ABC上,BE、CD相交于点F,设

S?BDF=S2,S?BCF=S3,S?CEF=S4,

835311 35434的边AB、AC

AS四边形EADF=S1,

则S1S3与S2S4的大小关系为( ) A、S1S3﹤S2S4 B、S1S3=S2S4 C、S1S3﹥S2S4

DFEBC

D、不能确定

第4题图

5、设S=3+11111++?+,则4S的整数部分等于( ) 333232011A、4 B、5 C、6 D、7 二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

6、两条直角边长分别是整数a, b(其中b<2011),斜边长是b+1的直角三角形的个数为 .

7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3 ,3,4;另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8。同时掷这两枚骰子,则其朝上的面两个数字和为5的概率是 . 8、如图,双曲线y? (x?0)与矩形OABC的边BC, BA分别交于点E, F, 且AF=BF,连结EF,则△OEF的面积为 .

9、⊙O的三个不同的内接正三角形将⊙O分成的区域的个数为 .

1?10c?d10、设四位数abcd满足a3?b3?c3?d3?,则这样的四位数的个数

2

x

为 .

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

11、已知关于x的一元二次方程x2?cx?a?0的两个整数根恰好比方程

x2?ax?b?0的两个根都大1, 求a?b?c的值.

12、如图,点H为△ABC的垂心,以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D, 延长AD交CH于点P, 求证:点P为CH的中点.

AO1HDPBO2C

13、若从1,2,3,?,n中任取5个两两互素的不同的整数a1,a2,a3,a4,a5, 其中总有一个整数是素数,求n的最大值.

14、如图,△ABC中,∠BAC=60°,AB=2AC. 点P在△ABC内,且PA=3, PB=5, PC=2, 求△ABC的面积.

APB

C