x1ln3ln31dx2e??21???02dx 所以A?.（2）P?0?X?ln3????2x?xx202???e?e1?(e)??22????1????

???34?6x2xdt2x（3）分布函数F(x)??f(t)dt??? ?arctanet?t?????e?e??2?arctane?五、解：FY(y)?1x2ln30P{Y?y}?P?2X?1?y?

y?1y?1???P?X??????2fX(x)dx

2??y?1?0即y?1时，FY(y)?0； 2y?1y?11当0??1即1?y?3时，FY(y)??026x(1?x)dx?(y?1)2(4?y)；

421y?1当?1即y?3时，FY(y)??06x(1?x)dx?1；

2当即

0,y?1??1FY(y)??(y?1)2(4?y),1?y?3

?41,y?3??3?(y?1)(3?y),1?y?3所以fY(y)??4

?0,其他?六、解：由题意知，X的可能取值为：0，1，2，3；Y的可能取值为：1，3. 且

1?1?P?X?0,Y?3?????，

8?2?P?X?1,Y?1??C1333?1??1??????，

8?2??2?2P?X?2,Y?1??C23?1??1?3?????， ?2??2?8321?1?P?X?3,Y?3?????.

8?2?于是，（1）（X，Y）的联合分布为 Y X 0 1 2 3 1 0 3 1 80 0 3 83 80 1 8（2）P?Y?X??P?X?0,Y?3??1.

8????????七、解：（1）由1???f(x,y)dxdy??0?????0??Ae?(x?2y)dxdy

?A?0e?xdx?0e?2ydy?所以A?2.

??1A 2?e?x x?0f(x,y)dy??（2）X的边缘密度函数：fX(x)??. ??其他?0,???2e?2y y?0f(x,y)dx??Y的边缘密度函数：fY(y)??. ??其他?0,（3）因f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以X，Y是独立的.

??????八、解：E(X)??xf(x)dx??x???1dx?

??1??1x???X 令EX?X，即?X，得参数?的矩估计量为???1X?1????n,xi?1(i?1,2,?,n)?n??1n??似然函数为L(?)??f(xi,?)????x?

i?i?1??i?1??0,其他?当xi?1(i?1,2,?,n)时，L(?)?0，

lnL(?)?nln??(??1)?lnxi

i?1ndlnL(?)nn???lnxi?0

d??i?1得参数?的极大似然估计值为

???九、解：由于正态总体Nn?lnxi?2?中期望?与方差?2都未知，所以所求置信区间为

??SS??????X?tn?1,X?tn?1． ????n2n2????0.025．查表，得t0.025?15??2.1315． 由??0.05，n?16，得2116116xi?503.75， s??xi?x?2?6.2022． 由样本观测值，得x???16i?115i?1s6.2022t??n?1??503.75??2.1315?500.445， 所以， x?n216s6.2022t??n?1??503.75??2.1315?507.055， x?n216因此所求置信区间为?500.445,507.055?

n

??,i?107-08-1《概率论与数理统计》试题A参考答案 一．1．B；2D．；3．B；4．C；5．A.

91；4．；5．1.

5642三．1．解：设用Ai表示：“第一次比赛取出的两个球中有i个新球”，i?0,1,2；

“第二次取出的两个球都是新球”。则 B表示：

22C8C2128 P?A0??；P?BA0?? ??22C1045C1045二．1．P

112C2C816C721；P?BA1?? P?A1????224545C10C1022C8C62815；P?BA2?? P?A2??2??2C1045C1045?B??1?p；2．3；3．

则

P?B??P?A0?P?BA0??P?A1?P?BA1??P?A2?P?BA2??P?Z?2??P?X?1,Y?1??111?? 339784?0.38720252．解：

Z?X?Y的可能取值为2，3，4，则

所以ZP?Z?3??P?X?1,Y?2??P?X?2,Y?1??12214???? 33339P?Z?4??P?X?2,Y?2??224?? 3393 ???X?Y的分布律为： Z P ?x2 4 1949049 3．解（1）

?????f?x?dx??Ce????dx?2C?e?xdx?2C?1

1 21?x?f?x??e????x????

211?x11 （2）P?X?1???edx??e?xdx?1?

?120e2 （3）当y?0时，F?y??PX?y?0； 当y?0时，

y1?xyF?y??P?X2?y??P?y?X?y??edx??e?xdx

?y20y?0?0,??y?f?y??F??y???e

,y?0?2y?4．解（1）当x?1时，

得：C?????fX?x???????f?x,y?dy??1?xy1dy?，

?1421?1?,x?1则fX?x???2

??0,其他?1?,y?1同理fY?y???2

??0,其他??1x（2）EX??xfX?x?dx??dx?0

???12 同理：EY??yfY?y?dy?0

??2??1??x21EX??xfX?x?dx??dx?

???123??12 同理：EY??y2fY?y?dy?

??31122 DX?EX??EX???0?

33122 同理：DY?EY??EY??

3（3）由于f?x,y??fX?x?fY?y?，所以X和Y不独立。

??2??????1?1?1?xy??1??xyfx,ydxdy?dyxy???dx?? ??1????????14??9??1?0E?XY??EX?EY91???0 R?X,Y??13DXDY3 所以X和Y相关。

（4）P?X?Y?1????f?x,y?dxdy

E?XY???????x?y?10111?x1?1?179???3??????dx?xydy??dx?xydy??

???1?10?1??4?2?4965．解：似然函数为：

L?p???P?Xi?xi????1?p?i?1i?1nnxi?1xi?n p?pn?1?p??1?1n?n?lnL?p??nlnp??x?n???i?ln?1?p?

?i?1?令

dlnL?p?n??dpp?xi?1ni?n?0

1X

1?p得参数

??p的极大似然估计为：p6．解：假设H0:??500，H1:??500

选择统计量：T?X??S? 统计量的样本值：T由于

10498?5006.510~t?9?

??0.97

T?0.97?t0.01?9??2.82，接受原假设H0。所以在显著性水平??0.02下，可以认

为自动装罐机工作正常。