08~09-1学期《概率论与数理统计》试题A参考答案 一、填空题：1、2；2、0.4；3．?21?,??；4、2.6；5、?2(n) 99二、选择题：1、C；2、D；3、B；4、B；5、C 三、解：设Bi=“取出的零件由第 i 台加工”(i?1,2)

21P?A??P?B1?P?AB1??P?B2?P?AB2???0.97??0.98?0.973

3313?1?1?1??1?P?X?0,Y?3?????，P?X?1,Y?1??C3?????，

88?2??2??2?32四、解：由题意知，X的可能取值为：0，1，2，3；Y的可能取值为：1，3. 且

P?X?2,Y?1??C231?1??1?3?1??????，P?X?3,Y?3?????.

8?2??2?8?2? Y X 0 1 2 3 23于是，（1）（X，Y）的联合分布为 1 0 3 1 80 0 3 83 80 1 8（2）P?Y?X??P?X?0,Y?3??1

8五、解：随机变量

X的密度函数为

f?x??设随机变量Y的分布函数为FY

12?e?x22

????x????

FY?y??P?Y?y??PX2?1?y?PX2?y?1 ①. 如果y?1?0，即y?1，则有FY?y??0； ②. 如果y?1，则有

??y?，则有

???

FY?y??P?X2?y?1??P?y?1?X?y?112?y?1??

??y?1?e?x22dx??x2222?y?1?0e?x22dx

?2?即FY?y???2???所以，

y?1?0edxy?1y?1

0?1?2?y21e??fY?y??FY??y???2?2y?1?0?y?1y?1

y?1??1e2y?1?即 fY?y???2?y?1．

?0y?1???1?xdx?0 六、解： ① E(X)??xe??2D(X)?E(X2)?[E(X)]2

????1?x1??x2edx?0?2?x2e?xdx?2

??022②Cov(X,所以

X)?E(XX)?E(X)E(X)??不相关.

?????????????xx1?xedx?0?0 2X与X七、（本题满分10分） 解：（1）由1??f(x,y)dxdy??0?????0??Ae?(x?2y)dxdy

?A?0e?xdx?0e?2ydy???1A 所以A?2 2?e?x x?0（2）X的边缘密度函数：fX(x)??f(x,y)dy??

??其他?0,???2e?2y y?0Y的边缘密度函数：fY(y)??f(x,y)dx??

??其他?0,??f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以X，Y是独立的

2八、解：⑴. 当??0为未知，而???????（3）因

为已知参数时，似然函数为

?1n2?L??2??exp??2??xi????

?2?i?1?n1n222??x??因而 lnL?????ln?2???? ?i22?2i?1?n1n122所以 lnL?????2???xi????4?0

2i?12?????2????2n2?2?1n2解得????xi???ni?122

21n????Xi???2． 因此，?的极大似然估计量为?ni?12，2，?，n?， ⑵. 因为Xi~N??，?? ?i?1所以所以

Xi??E?Xi????0，D?Xi?????2 ?i?1，2，?，n?，

?~N?0，1? ?i?1，2，?，n?，

2所以E??Xi?????E?Xi?????D?Xi?????2?i?1，2，?，n?

22?因此，E?????1n2??E???Xi????

?ni?1?1n12??E?Xi?????n?2??2 ni?1n1n2????Xi???2是未知参数?2的无偏估计 所以，?ni?122九、解：由于正态总体N??,??中期望?与方差???都未知，所以所求置信区间为

??SS??X?nt??n?1?,X?nt??n?1???．

22???由??0.05，n?16，得?0.025．查表，得t0.025?15??2.1315．

21161162??s?x?x?6.2022 由样本观测值，得x?，x?503.75?i?i16i?115i?1s6.2022t??n?1??503.75??2.1315?500.445， 所以， x?n216s6.2022t??n?1??503.75??2.1315?507.055， x?n216因此所求置信区间为?500.445,507.055?

班级： 姓名: 号数 第一部分 基本题

一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）（每道选择题选对满分，选错0分） 1. 事件表达式A?B的意思是 ( ) (A) 事件A与事件B同时发生 (B) 事件A发生但事件B不发生 (C) 事件B发生但事件A不发生 (D) 事件A与事件B至少有一件发生

答：选D，根据A?B的定义可知。

2. 假设事件A与事件B互为对立，则事件A?B( ) (A) 是不可能事件 (B) 是可能事件 (C) 发生的概率为1 (D) 是必然事件 答：选A，这是因为对立事件的积事件是不可能事件。 3. 已知随机变量X,Y相互独立，且都服从标准正态分布，则X2＋Y2服从 ( ) (A) 自由度为1的?2分布 (B) 自由度为2的?2分布 (C) 自由度为1的F分布 (D) 自由度为2的F分布

答：选B，因为n个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n的?2分布。

4. 已知随机变量X,Y相互独立，X~N(2,4),Y~N(?2,1), 则( ) (A) X+Y~P(4) (B) X+Y~U(2,4) (C) X+Y~N(0,5) (D) X+Y~N(0,3) 答：选C，因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2-2=0, D(X+Y)=D(X)+D(Y)=4+1=5, 所以有X+Y~N(0,5)。 5. 样本(X1,X2,X3)取自总体X，E(X)=?, D(X)=?2, 则有( )

(A) X1+X2+X3是?的无偏估计 (B)

X1?X2?X3是?的无偏估计

32(C) X是?的无偏估计

222

?X?X2?X3?2

(D) ?1?是?的无偏

3??估计

答：选B，因为样本均值是总体期望的无偏估计，其它三项都不成立。

6. 随机变量X服从在区间(2,5)上的均匀分布，则X的数学期望E(X)的值为( ) (A) 2 (B) 3 (C) 3.5 (D) 4 答：选C，因为在(a,b)区间上的均匀分布的数学期望为(a+b)/2。

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分。把答案填在题中横线上） 1. 已知P(A)=0.6, P(B|A)=0.3, 则P(A?B)= __________

答：填0.18, 由乘法公式P(A?B)=P(A)P(B|A)=0.6?0.3=0.18。

2. 三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为__________

答：填0.784，是因为三人都不中的概率为0.63=0.216, 则至少一人中的概率就是1?0.216=0.784。

3. 一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为_____ 答：填0.25或

5?3?211??0.25。 ，由古典概型计算得所求概率为3C10440?x?1,?x,?4. 已知连续型随机变量X~f(x)??2?x,1?x?2, 则P{X?1.5}=_______

?0,其它.?答：填0.875，因P{X?1.5}??1.50f(x)dx?0.875。

5. 假设X~B(5, 0.5)(二项分布), Y~N(2, 36), 则E(X+Y)=__________

答：填4.5，因E(X)=5?0.5=2.5, E(Y)=2, E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2.5+2=4.5

6. 一种动物的体重X是一随机变量，设E(X)=33, D(X)=4，10个这种动物的平均体重记作Y，则D(Y)＝________

答：填0.4，因为总体X的方差为4，10个样本的样本均值的方差是总体方差的1/10。

三、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。（10分）

解：设从甲袋取到白球的事件为A，从乙袋取到白球的事件为B，则根据全概率公式有

P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A) 21115??????0.417323412

四、已知随机变量X服从在区间(0,1)上的均匀分布，Y＝2X +1，求Y的概率密度函数。（10分）

?1,0?x?1,解：已知X的概率密度函数为fX(x)??

0,其它.?Y的分布函数FY(y)为

FY(y)?P{Y?y}?P{2X?1?y}?P{X?因此Y的概率密度函数为

y?1y?1?}?FX??? 2?2??11?y?1??,1?y?3,fY(y)?FY?(y)?fX? ???22?2??其它.?0,五、已知二元离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布如下表所示：

Y 1 2 ?1 X 0.1 0.2 0.3 ?1 2 0.2 0.1 0.1 (1) 试求X和Y的边缘分布率 (2) 试求E(X),E(Y),D(X),D(Y),及X与Y的相关系数?XY(满分10分) 解：(1)将联合分布表每行相加得X的边缘分布率如下表：

X 2 ?1 p 0.6 0.4 将联合分布表每列相加得Y的边缘分布率如下表： Y 1 2 ?1 p 0.3 0.3 0.4 (2) E(X)??1?0.6+2?0.4=0.2, E(X2)=1?0.6+4?0.4=2.2, D(X)=E(X2)?[E(X)]2=2.2?0.04=2.16

E(Y)??1?0.3+1?0.3+2?0.4=0.8, E(Y2)=1?0.3+1?0.3+4?0.4=2.2 D(Y)= E(Y2)?[E(Y)]2=2.2?0.64=1.56

E(XY)=(?1)?(?1)?0.1+(?1)?1?0.2+(?1)?2?0.3+2?(?1)?0.2+2?1?0.1+2?2?0.1= =0.1?0.2?0.6?0.4+0.2+0.4??0.5

cov(X,Y)=E(XY)?E(X)E(Y)??0.5?0.16??0.66

?XY?cov(X,Y)?0.660.66?????0.36

1.836D(X)D(Y)2.16?1.56