六、设某种电子管的使用寿命服从正态分布。从中随机抽取15个进行检验，算出平均使用寿命为1950小时，样本标准差s为300小时，以95%的置信概率估计整批电子管平均使用寿命的置信区间。 (满分10分)

解：已知样本均值x?1950, 样本标准差s=300, 自由度为15?1=14, 查t分布表得t0.025(14)=2.1448, 算出t0.025(14)s2.1448?300??166.1, 因此平均使用

3.87315寿命的置信区间为x?166.1，即(1784, 2116)。

附：标准正态分布函数表?(x)?12??x??e?u22du

?(x) x 0.9 0.95 0.975 0.99 1.281551 1.644853 1.959961 2.326342

t分布表P{t(n)>t??n)}=? ?? N 14 15 16 0.1 1.3450 1.3406 1.3368 0.05 1.7613 1.7531 1.7459 0.025 2.1448 2.1315 2.1199 第二部分 附加题 附加题1 设总体X的概率密度为

?(??1)x?,0?x?1,f(x;?)??

其它,?0,其中?>?1为未知参数，又设x1,x2,?,xn是X的一组样本观测值，求参数?的最大

似然估计值。（满分15分） 解：似然函数

n?n?L?(??1)??xi? ?i?1??lnL?nln(??1)???lnxin

i?1dlnLn???lnxid?(??1)i?1n

令

dlnL?0，解出?的最大似然估计值为 d?

????n?lnxi?1n?1

i

附加题2 设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。（满分15分） Y P{X=xi}=pi? y1 y2 y3 X 1 x1 81 x2 81P{Y=yj}=p?j 1 6解：已知X与Y独立，则 pij=P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)?P(Y=yj), 经简单四则运算，可得 Y P{X=xi}=pi? y1 y2 y3 X 1111 x1 2481241313 x2 8844111P{Y=yj}=p?j 1 623