12?(3)2?2，与x和正向夹角都是

arctan(3/1)?600。

A点处流函数值为?3?1?0??3，通过A点的流线方程为?3x?y??3。同样可以求解出通过B点的流线方程也是?3x?y??3。

6-9 已知流函数ψ=V∞(ycosα-xsinα),计算其速度,加速度,角变形率(?1?vy?xy=?yx=2(?x+vx?y)),并求速度势函数φ. 解： 因 Vx=

???x =???y= V∞cosα

Vy=

???y=-???x= V∞sisα

dφ=

????xdx+??ydy=Vxdx+Vydy

φ

=

?d

φ

=

????xdx+???ydy=?Vxdx+Vydy= V∞?cosαdx+

sisαdy

= V∞( cosαx+ sisαy) ax=

dVx?dt?Vx?t?Vx?Vx?x?Vy?Vx?y?0 adVy?y=

dt?Vy?t?Vx?Vy?x?Vy?Vy?y?0; ?1?vy?vxxy=?yx=

2(?x+?y)=0 6-10.证明不可压缩无旋流动的势函数是调和函数。

解: 不可压缩三维流动的连续性方程为

?vx??x?vy?y??vz?z?0 将关系??????x?vx， ?y?vy， ??z?vz代入上式得到 ??x(???x)???y(???y)???z(???z)?0 或 ?2??2??2??x2??y2??z2?0

可见不可压缩有势流动的势函数是一调和函数。

6-11 什么样的平面流动有流函数?

答: 不可压缩平面流动在满足连续性方程

?vx?x??vy?y?0 或

?vx?（?x?-vy）?y 的情况下平面流动有流函数.

6-12 什么样的空间流动有势函数?

答: 在一空间流动中，如果每点处的旋转角速度矢量?=?xi+?yj+?zk都是零矢量，即?x??y??z?0，或关系

?vz?vy?vx?vz?y??z,?z??x,?vy?x??vx?y成立, 这样的空间流动有势函数. 6-13 已知流函数ψ=-q2??,计算流场速度. 解: Vr=

??r??=-q2?r

V??θ=-?r=0 6-14平面不可压缩流体速度势函数 φ=ax(x2

-3y2

),a<0,试确定流速及流函数,并求通过连接A(0,0)及B(1,1)两点的连线的直线段的流体流量. 解： 因 Vx=

???x????y=a(3x2-3y2) Vy=

???y=-???x=-6axy

dψ

=

???xdx+???ydy=-Vydx+Vxdy=6axydx+a(3x2-3y2)

dy ψ

=

?dψ

=

?????xdx+??ydy=?-Vydx+Vxdy

=?6axydx+

a(3x2-3y2)dy

=3ax2y-ay3

在A(0,0)点 ψA=0； B（1,1）点ψB=2a，q=ψA-ψB=-2a.

6-15 平面不可压缩流体流函数ψ=ln(x2

+y2

), 试确定该流动的势函数φ.

解：因 Vx=

???x =??2y?y=x2?y2

Vy=

???y=-???x=-2xx2?y2

d

φ

=

???xdx+???ydy=Vxdx+Vydy=2yx2?y2dx-2xx2?y2dy

???

Vxdx+Vydy=

?2y2xx2?y2dx-x2?y2dy=-2arctan(yx)

6-16 两个平面势流叠加后所得新的平面势流的势函数及流函数如何求解?

解: 设想两个平面上各有一平面势流，它们的势函数分别为?1，?2, 流函数分别为?1，?2。现将两个平面重合在一起，由此将得到一个新的平面流动，这一新的流动与原有两个平面流动都不相同。合成流动仍然是一有势流动，其势函数?可由下式求出：

???1??2

同样，合成流动的流函数?等于

???1??2

6-17 在平面直角系下, 平面有势流动的势函数?和流函数?与速度分量vx,vy有什么关系?

解: 在平面直角系下, 平面有势流动的势函数?和流函数?与速度分量vx,vy有如下关系.

???x????y?v????x, ?y???x?vy 6-18什么是平面定常有势流动的等势线? 它们与平面流线有什么关系?

解:在平面定常有势流动中，势函数?只是x,y的二元函数，令其等于一常数后，所得方程代表一平面曲线，称为二维有势流动的等势线。平面流动中，平面上的等势线与流线正交。

6-19 试写出沿y方向流动的均匀流(V=Vy=C=V∞)的速度势函数φ，流函数ψ. 解：因 Vx=

???x =???y=0

Vy=

????y=-??x=V∞

dφ=

???xdx+???ydy=Vxdx+Vydy=0dx+ V∞dy

φ= V∞y

dψ=

?????xdx+?ydy=-Vydx+Vxdy=- V∞dx

??- V∞x

6-20 平面不可压缩流体速度分布为：Vx=x-4y；Vy=-y-4x 试证：

（1）该流动满足连续性方程， (2) 该流动是有势

的，求φ, (3)求ψ，

解：（1）由于

?Vx?Vy?x??y?1-1=0，故该流动满足连续性方程, 流函数ψ存在

(2）由于ω1?Vyz= 2(

?x??Vx?y)=0, 故流动有势,

势函数φ存在. 3）因 Vx=

?????x??y=x-4y Vy=

?????y=-?x=-y-4x

dφ=

???xdx+???ydy=Vxdx+Vydy= (x-4y)

dx+(-y-4x)dy φ

=

?dφ

=

?????xdx+??ydy=

?Vxdx+Vydy=

? (x-4y)

dx+(-y-4x)dy

=

x2?y22?4xy dψ

=

???xdx+???ydy=-Vydx+Vxdy=(y+4x)dx+(x-4y)dy

ψ

=

?dψ

=

??????xdx+?ydy=?-Vydx+Vxdy=?(y+4x)d

x+(x-4y)dy =xy+2(x2-y2)

6-21 已知平面流动流函数ψ=arctgyx，试确定该流动

的势函数φ. 解：因 Vx=

???x =??x?y=x2?y2 Vy=

???y=-???x=yx2?y2

d

φ

=

???xdx+???ydy=Vxdx+Vydy=xx2?y2dx+

yx2?y2dy φ

=

?dφ

=

????xdx+

???ydy=

?Vxdx+Vydy=

?

xx2?y2dx+yx2?y2dy =lnx2?y2

6-22 证明以下两流场是等同的，(Ⅰ)φ=x2

+x-y2

, (Ⅱ)ψ=2xy+y.

证明:对 (Ⅰ)φ=x2

+x-y

2

Vx=

???x=2x+1 Vy=

???y=-2y 对 (Ⅱ) ψ=2xy+y

Vx ????y=2x+1 Vy=-

???x=-2y 可见?与?代表同一流动.

6-23 已知两个点源布置在x轴上相距为a的两点，第

一个强度为2q的点源在原点，第二个强度为q的点源位于（a, 0）处，求流动的速度分布（q?0）。 解: 两个流动的势函数分别为

2q?ln(x2?y2)1/22及q2?ln(x?a)2?y2)1/2, 合成流动的势函数为??2qln(x2?y2)1/2+qln((x?a)2?y2)1/22?2?, v???2q2x???x(2?ln(x?y2)1/2?x+

qln((x?a)2?y2)1/22?)=qx?x2?y2?qx?a2?(x?a)2?y2

v?y???y???y(2q2?ln(x2?y2)1/2+q2?ln((x?a)2?y2)1/2)=qyqy?x2?y2?2?(x?a)2?y2 6-24 如图所示，平面上有一对等强度为?(??0)的点涡，其方向相反，分别位于（0，h），（0，-h）两固定点处，同时平面上有一无穷远平行于x轴的来流v?，试求合成速度在原点的值。

v0yΓoxΓ 解: 平面上无穷远平行于x轴的来流v?, 上,下两点涡的势函数分别为v?x，??2?arctan((y?h)/x), ?2?arctan((y?h)/x), 因而平面流动的势函数为v?2?arctany(?(h)/x)+ ??x?2?arctan((y?h)/x),

v????x?v?y?hx??2?x2?(y?h)2

??y?h???2?x2?(y?h)2,vy??y??x2?x2?(y?h)2+?x2?x2?(y?h)2,将原点坐标(0,0)代入后可得

v?x?v???h, vy?0. 6-25 如图，将速度为v?的平行于x轴的均匀流和在原点强度为q的点源叠加，求叠加后流场中驻点位置。

yv∞oθv∞vqx 解: 均匀流和在原点强度为q的点的势函数分别为v?x及

q2?lnx2?y2, 因而平面流动的势函数为??vq?x+2?lnx2?y2,

v??x??x?v?qx??qy?2?x2?y2, vy??y?2?x2?y2,令vvqx?0,y?0, 得到x??2?v,y?0. ?6-26如图，将速度为v?的平行于x轴的均匀流和在原点强度为q的点源叠加，求叠加后流场中驻点位置, 及经过驻点的流线方程.

yv∞oθv∞vq解: 先计算流场中驻点位置.

均匀流和在原点强度为q的点的势函数分别为v?x及

q2?lnx2?y2, 因而平面流动的势函数为??vq?x+2?lnx2?y2, v?qx??qx???x?v2?x2?y2, vy??y?y??2?x2?y2,令vqx?0,vy?0, 得到x??2?v,y?0.此即流场?中驻点位置.

均匀流和在原点强度为q的点的流函数分别为v?y,

q2?arctan(yx),因而平面流动的流函数为??vqy?y+2?arctan(x), 在驻点??0, 因而经过驻

点的流线方程为vqy?y+2?arctan(x)=0

6-27 一强度为10的点源与强度为-10的点汇分别放置

于（1，0）和（-1，0），并与速度为25的沿x 轴负向的均匀流合成，求流场中驻点位置。

解: 均匀流, 点源与点汇的势函数分别为-25x,

10ln((x?1)2?y2)0.5, ?10ln((x?1)2?y2)0.52?2?, 因而平面流动的势函数为

???25x+

10ln(x?1)2?y22?-102?ln(x?1)2?y2

vx???10?x??25?x?110x?12?(x?1)2?y2?2?(x?1)2?y2,

x