武汉理工大学

2008—2009学年第二学期《高等数学B》期末试卷（B卷）

考生姓名： 班级： 学号：

题号 一 二 三 四 五 总分

1 2 3 4 5 1 2

得分

评卷人 一、选择题（本题共6小题, 每小题4分，满分24分）

1、二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数都存在，是f(x,y)在该点可微的（ ）． （A）充分而非必要条件 （B）既非充分又非必要条件 （C）充分必要条件 （D）必要而非充分条件 2、设f(x,y)是连续函数，则I??ax0dx?0f(x,y)dy(a?0)=（ ）

． （A）?ay0dy?f(x,y)dx （B）?ady?a00yf(x,y)dx

（C）

?ay0dy?f(x,y)dx （D）?ady?aa00f(x,y)dx

3、下列级数条件收敛的是（ ）．

??（A）

?(?1)n1 （B）?(?1)n1?n （C）nn? （D）n1 n?1n?1n2?(?1)n?1n?1?(?1)n?1n(n?1)4、若级数

??un收敛，则下列级数中（ ）收敛。

n?1????（A）

?(un?0.001) （B）?un （C） ?u1000n?1000 （D） n?1n?1n?1?n?1un5、以y1?cosx,y2?sinx为特解的二阶线性齐次微分方程是（ ） （A）y''?y?0 （B）y''?y'?0 （C）y''?y?0 （D）y''?y'?0 6、设D??(x,y):x2?y2?a2?，则当a?（ ）时，

??a2?x2?y2dxdy?2?

D（A）1 （B）2 （C）33 （D）332 二、填空题（本题共5小题, 每小题4分，满分20分） 1、 设z?esinxy，则dz? 。

2、 设D??(x,y):0?x?1,x?y?1?，则

??e?y2dxdy? 。 D 1

3、 曲线族y?(c11?c2x)e2x中满足条件yx?0?0,y'x?0?2的曲线是 ． 4、 微分方程y???2y??2y?4excosx的特解形式设为y*= 。

??1?2?5、已知级数12?n?1n6，则级数?(2n?1)2的和等于 。 n?1三 计算题（本题共5小题, 每小题7分，满分35分）

设 z?x3?y3?3xy2,求?z?21、z?x,?x?y。

?2、判别级数?an1?a2n(a?0)的敛散性。 n?13．求微分方程y''?5y'?4y?3?2x的通解。

4、求幂级数

??nxn?1的收敛域及和函数。 n?15、计算积分

??cosx?Dxdxdy，其中D为以点O(0，0),A(??6，0),B(6，6)为顶点的三角形区域。 四、应用题（本题共2小题, 每小题8分，满分16分）

1、1、用钢板做一个容积为a的长方体箱子，问长、宽、高为多少时，用料最少。

2、利用二重积分的几何意义计算球面x2?y2?z2?9与旋转锥面x2?y2?8z2之间包含z轴的部分的体积。五、证明题（本题满分5分）设常数??0，级数???a2ann收敛，证明：级数n?1?n?1n2绝对收敛。

??一．DBACCD 二．1、esinxycosxy(ydx?xdy) 2、12(1?e?1) 3、12xe2x 4、y?xex(asinx?bcosx) 5、?28

三．1. ?z2?x?3x2?3y2,?z?x?y??6y. 2. 解：当a?1时，原级数为

??1发散--------------------------1分 n?12当0?a?1时，?an1?a2n?an------------------------------2分 ??an 而an?为公比小于1的等比级数，故收敛由正项级数的比较判别法，n?1?2收敛--------4分 n?11?an 2

?anan11a?1??当a?1时，? 又时，级数收敛 ?2n2nnn1?aaan?1aan由正项级数的比较判别法，?收敛------------------------------------5分 2n1?an?1??anan当a?1时，级数?发散，当a?0且a?1时，级数?收敛---------7分 2n2nn?11?an?11?a?3．对应的齐次方程的特征方程为r?5r?4?0，……--------------2分

特征根为r??1,r??4-----------------------（3分）

对应的齐次方程的通解为y?c1e?x?c2e?4x………(4分)，

特解为y??2c1e?x原方程的通解为 y?

4. 解：???lim111?x………(5分)， 82111?c2e?4x??x………(7分)

82n??an?1n?1?lim?1，?收敛半径R?1-------------------------------2分 n??annn?1）?（n?1?n?1当x??1时级数（-1,1）发散，所以收敛域为。---------------------3分

设s(x)??nxn?1?n?1,x?(?1,1) -------（*）

x??xx??n?1?n?1------------6分 s(t)dt????nt?dt???ntdt??xn?001?xn?1n?1?n?1?x两边从0到x积分得：

?0两边对x求导得 s(x)?s(0)?1,x?(?1,1)，且由（*）式知，s(0)?0 2(1?x)?s(x)?1,x?(?1,1)--------------------------------------------------------7分

(1?x)2?xcosxcosx6 5. ??dxdy??dx?dy…………………….4分 00xxD?=

?60cosxdx…………………………5分

=1/2…………………………………..7分

四、 1. 解：设长方体的长、宽、高分别为x,y,z，则长方体的体积为V?xyz?a，表面积为S?2(xy?yz?zx)，

问题即求S?2(xy?yz?zx)在xyz?a之下的极值，------------------------------2分 令F(x,y,z,?)?2(xy?yz?zx)??(xyz?a)，-----------------------------------------3分

3

?Fx'?'?Fy由?'?Fz?'?F??2(y?z)??yz?0?2(x?z)??xz?0?2(x?y)??xy?0?xyz?a?0?x?y?z?3a----------------------------6分

即长方体的长、宽、高都是3a时，表面积最小。-----------------------------------------7分

222??x?y?z?922xoy??2?z??12、解： 所求立体在面上的投影区域为：D:x?y?8-------- --222??x?y?8z分

由二重积分的几何意义所求立体的体积为

x2?y2V?2??(9?x?y?)d? ----------------------------------5分

8D22用极坐标计算得 V?2?2?0d??220(9?r2?2r)rdr---------------------------------------7分 4 ?24?------------------------------------------------------------------------------------8分

2anan?(n2??)1?五、证明：因为级数?an和?2收敛，则由 22n??n?1n?1n???2?可知 级数

?n?1?ann??2收敛，即?n?1?ann??2绝对收敛。--------------------------5分

4