《立体几何中的向量方法》教学案例分析

华阳中学 李灵

《立体几何中的向量方法》的核心内容就是利用空间向量来解决立体几何问题，其一般方法是：先利用空间向量表示空间中点、直线、平面等元素，建立立体图形与空间向量的联系;进行空间向量运算;由向量运算所得结果解释几何结论。此核心内容，就是整个教学过程中所涉及到的“三步曲”。“三步曲”的给出，与平面向量在平面几何中的运用有类似的地方，是通过对比而得到的一种方法，也是平面向量的一种扩展。

本节内容的学习目标是利用向量的相关知识，表示直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系;用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）;用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

重点：理解并掌握向量方法解决立体几何问题的一般方法。

难点：建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为向量问题。 一、向量方法的基础知识

向量方法的综合运用，是在空间向量相关知识的基础上展开的。这些知识包括：向量的概念、向量的加减运算、向量的数乘运算、向量数量积（内积）运算、向量平行（垂直）充要条件、向量基本定理、向量坐标表示及坐标运算等等。而向量在立体几何中的运用，还必须利用空间向量决定空间点、直线、平面在空间中的位置。在这些相应知识的前提下，我们归纳给出了以下几个有关直线、平面位置关系的结论：

设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面?，?的法向量分别为u，r，则

线线平行 l||m?a||b?a?kb，k?R线线垂直 l?m?a?b?a?b?0

线面平行 l||??a?u?a?u?o线面垂直 l???a||u?a?ku，k?R面面平行 ?||??u||r?u?kr，k?R面面垂直 ????u?r?u?r?0|a?b|2|a||b|?|a?u|线面夹角 l，?的夹角为?(0???),cos??2|a||u|?|u?r|面面夹角 ?，?的夹角为?(0???),cos??2|u||r|线线夹角 l，m的夹角为?(0???),cos??注意：（1）这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合。（2）这里的线线夹角、线面夹角、面面夹角都是按照相关定义给出的，即0???

??2。

二面角的大小是指其两个半平面的张开程度，这可以用其平面角?的大小来定义，它的取值范围为0????，?具体取arccos?|u?r|－|u?r|，还是arccos?应结合具体问题

|u||r||u||r|而定。

二、向量方法的基本应用 例1、一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直（平面与平面垂直的判定定理）

已经：直线l和平面?，?，其中l??，l??，求证：???.

证明：设直线l的方向向量为a,平面?，?的法向量分别为u，r（建立立体几何问题与向量之间的联系）。

因为l??，所以a||r，即a=kr(k?R)（把立体几何问题转化为空间向量问题）, 又l??，所以a?u?a?u=0（把立体几何问题转化为空间向量问题）， 所以ku?r=0? u?r????（把空间向量的结果转化为几何结论）。 所以平面?与平面?互相垂直。

本例题的证明，是应用了以上：两个平面垂直的充要条件是这两个平面的法向量也互相垂直的这个结论。

例2、如图60?的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.。已知AB＝4，AC＝6，BD?8，求CD的长。

解：化为向量问题

根据向量的加法法则，CD?CA?AB?BD 进行向量运算

|CD|2?CD2?(CA?AB?BD)2?CA2?AB2?BD2?

2CA?AB?2CA?BD?2AB?BD?164回到图形问题 所以|CD|?241

（点析：本题包含两个方面的知识点：通过向量的加减法运算，把图形问题向量化;向量模的运算方法，结果向量的数量积运算律进行向量运算，最后求得图形中线段的长度）。

例3、在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD?底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EF?PB交PB于点F.

(1)求证：PA||平面EDB; (2)求证：PB?平面EFD; (3)求二面角C-PB-D的大小。

引导：(1) 侧棱PD?底面ABCD，则PD?AD, PD?CD, 底面ABCD是正方形，则AD?CD，又PD=DC，这告诉我们，“三条线段两两垂直且彼此相等”。这个条件对我们解决问题将起到什么作用呢？（合适建立空间直角坐标系表示向量，考虑本题使用坐标化方法）

(2)在上面建立的空间直角坐标系中，引导学生写出点P，A，B，C，D，E的坐标，并写

出向量PA,PB等的坐标。

(初步建立已知条件与求解内容两者间的联系，使学生意识到通过把向量坐标化解决问题，培养他们结合题 中条件建立适当坐标系的能力。)

(3)从“要证PA||平面EDB”入手，考虑直线与平面平行的判定条件，则需要考虑直线PA与平面EDB内哪条直线平行？从而引导学生发现G点，进而写出向量EG的坐标，由PA=kEG证得PA||EG,进而证明PA||平面EDB.

(运用直线与平面平行的判定定理，需证明PA与平面EDB内一直线平行，找出这条直线的过程可以锻炼直觉观察能力;证明两线平行可以巩固对直线的方向向量、共线向量等概念的理解。)

(4)从“要证PB?平面EFD”出发，考虑直线与平面垂直的判定条件，引导讨论：应证明PB与哪些线段垂直，用向量方法怎样证？

(运用直线与平面垂直的判定定理，需证明PB与平面EFD内两相交直线垂直。找出这两条直线的过程可以锻炼分析已知条件以及看图能力;证明直线间的垂直关系的过程可以巩固对两非零向量的“数量积为0”的几何意义的认识。)

在讨论的基础上，引导学生写出主要的证明过程。

(5)从“计算二面角C-PB-D的大小”出发，引导学生如何找出相应的平面角，让学生思考：哪个角是二面角C-PB-D的平面角？用向量方法怎么计算它的大小？

(计算二面角的大小，要先找出它的平面角，转而计算平面角的大小。计算角的大小时，向量是非常有力的工具。解决这个问题可以巩固对运用向量方法求角度的掌握。)

让学生思考：点F的坐标对计算是否重要？怎样利用题中条件确定点F的坐标？通过确定点F的坐标过程，进一步考虑并表达通过cos?EFD?FE?FD计算?EFD的过程。

|FE||FD|三、向量方法的基本要求

通过前面三个例子的应用，我们可概括出立体几何中的方法包含三种方法：综合法、向量法、坐标法，并且这三种方法又各有侧重，同时也可以交叉运用，各有特点又互相联系：综合法是数学2中常用的方法，具备丰富的空间想象能力和严格的空间逻辑推理能力;向量法是运用向量的加、减、数乘运算等方法，利用平行向量、垂直向量的充要条件来表示直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的一种方法;坐标法是在向量法的基础上，利用向量的坐标表示，通过向量的坐标运算来解释平行向量、垂直向量之间的关系以及向量夹角、模的大小等。每一种方法都按照“三步曲”来解决问题：建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题;进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系（距离和夹角等）;根据运算结果的几何意义来解释相关问题。

例3的解法，我们可以看到，将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，对于求解一些夹角问题变得更为简单。而坐标方法与向量方法的结合，建立坐标系的选择起到关键的作用。