《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（提高）

【学习目标】

1.了解一元二次方程及有关概念；

2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程； 3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、一元二次方程的有关概念 1. 一元二次方程的概念：

通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

2. 一元二次方程的一般式：

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释：

判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.

对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 要点二、一元二次方程的解法 1．基本思想

?一元一次方程 一元二次方程???2．基本解法

直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 要点诠释：

解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解

法，再考虑用公式法．

要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式

2一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)中，b?4ac叫做一元二次方程

2降次ax2?bx?c?0(a?0)的根的判别式，通常用“?”来表示，即??b2?4ac.

（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.

【高清ID号：388528 关联的位置名称（播放点名称）：根系关系】 2.一元二次方程的根与系数的关系

如果一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的两个实数根是x1，x2， 那么x1?x2??2bc，x1x2?. aa注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.

要点诠释： 1.一元二次方程

的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问

题：

(1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题．

2. 一元二次方程根与系数的应用很多：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；

(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 要点四、列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系；

三是正确求解方程并检验解的合理性.

2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤：

审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；

解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型

数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.

要点诠释：

列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.

【典型例题】

类型一、一元二次方程的有关概念

1．已知（m－1）x+3x－2＝0是关于x的一元二次方程，求m的值. 【答案与解析】

依题意得|m|+1＝2，即|m|＝1， 解得m＝±1，

又∵m－1≠0，∴m≠1， 故m＝－1.

【总结升华】依题意可知m－1≠0与|m|+1＝2必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m的值即可.

特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.

举一反三：

【变式】若方程(m?2)xm2|m|+1

?3mx?1?0是关于x的一元二次方程，求m的值．

2??m?2,【答案】 根据题意得? 解得

??m?2?0,2所以当方程(m?2)xm?3mx?1?0是关于x的一元二次方程时，m??2．

类型二、一元二次方程的解法

2．解下列一元二次方程．

(1)4(x?3)?25(x?2)?0； (2)5(x?3)?x?9； (3)(2x?1)?4(2x?1)?4?0． 【答案与解析】

(1)原方程可化为：[2(x?3)]?[5(x?2)]?0， 即(2x-6)-(5x-10)＝0，

∴ (2x-6+5x-10)(2x-6-5x+10)＝0， 即(7x-16)(-3x+4)＝0，

2

2

2222222