第二章 点 集

在第一章里，我们介绍了一般的集合的基本知识，给出了一些重要概念和基本性质. 而实变函数课程研究的函数是定义在n维欧几里得空间Rn的子集上的实值函数，因此，有必要对

n着重讨论Rn中的点集所特有的一些性R中的点集作进一步的讨论. 本章在第一章的基础上，

质. 需要指出的是，因为Rn中点集也是集合，因而，在第一章关于一般的集合的所有结果对Rn中的点集都适用，但Rn中的点集所具有的许多特殊性质，对于一般的集合就不一定成立了.

§1 度量空间，n维欧氏空间

教学目的：使学生了解Rn中点集的直径，区间概念，掌握邻域的概念及性质。

本节重点：距离空间、距离概念，Rn 的几种常见距离规定方法，邻域的定义方式及性质。

在解析几何和数学分析中，我们已经对一维欧几里得空间R1（即R，实直线），二维欧几里得空间R2（即实平面）和三维欧几里得空间R3（即现实的三维立体空间）有了比较深入的了解. 现在，我们讨论n维欧几里得空间.

定义 设n是正整数，由n个实数构成的有序数组x?(x1,x2,?,xn)的全体组成的集合，称为n维点集，记作Rn，即Rn?{x?(x1,x2,?,xn):xi?R,i?1,2,?,n}.

为了深入研究n维点集Rn中邻域、有界集、点列收敛等概念，需要对Rn中的点之间定义距离. 为了使问题讨论适用于更广泛的情形，我们对一般的集合给出距离的概念.

定义 设X是一个非空集合，如果对于X中任何两个元素x，y，都有一个确定的实数，记为?(x,y)，与之对应，且满足下面三个条件：

（i）非负性：?(x,y)?0，而且?(x,y)?0当且仅当x?y；

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（ii）对称性：?(x,y)??(y,x)；

（iii）三角不等式：?(x,y)??(x,z)??(z,y)，这里z也是X中任意一个元素. 则称?是X上的一个距离，称?(x,y)是x，y之间的距离，而称X是以?为距离的距离空间（或度量空间）. 记为(X,?).

对于Rn中任意两点x?(x1,x2,?,xn)，y?(y1,y2,?,yn)，定义实函数

12，（ii），（iii）. 称?为Rn上?(x,y)???(xi?yi)?，则?(x,y)满足距离的三个条件（i）

??n?2?i?1的欧几里得距离，称(Rn,?)为n维欧几里得空间.

定义1 设P0?Rn是一固定点，??0为一实数，则集合{P:?(P,P0)??}称为以P0为中心的?邻域，记作U(P0,?).

?称为邻域的半径，P0称为邻域的中心，某邻域当不需要指出半径时，可以简单地说是P0的某邻域，记作U(P0)，显然，在R,R2,R3中的邻域U(P0,?)，就分别是以P0为中心以?为半径的开区间，开圆和开球.

容易证明邻域具有如下基本性质： （1）P?U(P)；

（2）对于U1(P)和U2(P)，存在U3(P)?U1(P)?U2(P)； （3）对于Q?U(P)，存在U(Q)?U(P)；

（4）对于P?Q，存在U(P)和U(Q)，使U(P)?U(Q)??.

n定义2 设{Pk}是Rn中一个点列，P0?R，如果当k??时，有?(Pk,P0)?0，则

称点列{Pk}收敛于P0，记为limPk?P0或Pk?P0(k??).

k??用邻域的语言来说，就是：

?limPk?P0?对P0的任意邻域U(P0)，存在K?N，使当k?K时，Pk?U(P0) k??用“??N”语言来说，就是：

?limPk?P0?对任意的??0，存在K?N，使当k?K时，?(Pk,P0)??. k??36

定义3 设A，B是两个非空点集，A与B的距离定义为?(A,B)?inf?(P,Q).

P?AQ?B定义4 设A是非空点集，A的直径定义为?(A)?sup?(P,Q).

P?AQ?A定义5 设E为Rn中一点集，如果?(E)??，则称E为有界点集（空集也作为有界点集）.

显然，E是有界集?存在常数M，使对任意的x?(x1,x2,?,xn)?E，都有

|xi|?M(i?1,2?,n,. )

E是有界集?存在常数K，使对任意的x?(x1,x2,?,xn)?E，有?(x,O)?K，其中

nO?(0,0,?,0)为R的原点.

定义6 点集{(x1,x2,?,xn):ai?xi?bi,i?1,2,?,n}称为Rn中的开区间；如果把其中

?,n)，则称为Rn中的闭区间；如果把不等式都改为的不等式都改为ai?xi?bi(i?1,2,ai?xi?bi(i?1,2,?,n)或ai?xi?bi(i?1,2,?,n)，则称为Rn中的左开右闭区间或左闭

右开区间. 当没有必要区分上述各种区间时，统称为区间，记作I，bi?ai(i?1,2,?,n)称为

n，区间I的体积，记为|I|，|I|?I的第i个“边长”

?(bi?1i?ai).

§2 聚点，内点，界点

教学目的：通过对欧式空间中特殊点（聚点，内点和界点）的概念的讨论，为本门课后

面的学习打下基础. 本节重点: 聚点、内点、界点的定义及等价命题。

对于Rn中的点集E和Rn中的点P0，研究P0相对于E的位置关系，有以下三种情况： 第一，P0附近根本没有E的点； 第二，P0附近全是E的点；

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第三，P0附近既有属于E的点也有不属于E的点. 针对这三种情况，用邻域概念给出如下定义： 定义1 设E?Rn，P0?Rn

（1）若存在某一?0?0，使U(P0,?0)?CE（或U(P0,?0)?E??），则称P0为E的外点.

（2）若存在某一?0?0，使U(P0,?0)?E，则称P0为E的内点.

（3）若对任何?0?0，总有U(P0,?0)?E??且U(P0,?0)?CE??，则称P0为E的界点.

从定义可以知道，E的内点属于E，E的外点不属于E，E的界点可以属于E，也可以不属于E；E的外点也是CE的内点；E的界点也是CE的界点.

如果考虑在点P0的附近是否总是“凝聚着”点集E的点，又可以定义两种类型的点.

n定义2 设E?Rn，P0?R

（1）若对任何??0，P0的?邻域U(P0,?)中都含有E中的无穷多个点，也就是说

U(P0,?)?E是E的无穷子集，则称P0为E的一个聚点.

P0,?0)?E{?P}0（2）若P0?E，但P0不是E的聚点，也就是说，存在某一?0?0，使U(，

则称P0为E的一个孤立点.

应当注意，E的孤立点必属于E，但E的聚点可以属于E，也可以不属于E. 从定义可以看出，E的内点必为E的聚点，E的孤立点必为E的界点. 反过来却未必成立.

n定理1 设E?Rn，P0?R，则下面三个命题是等价的：

（1）P0是E的聚点；

（2）对任何??0，在U(P0,?)内至少含有一个属于E而异于P0的点； （3）存在一个各点互异的点列{Pn}，使Pn?P0(n??).

证明 （1）?（2），设P0是E的聚点，则对任何??0，U(P0,?)内都含有E中的无穷多个点，因此，在U(P0,?)内至少含有一个属于E而异于P0的点.

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（2）?（3），设（2）成立，则在U(P0,1)内有一个点P1?E而异于P0，令那么在U(P0,?1)内有一个点P2?E而异于P0，由?1的定义，知P2异?1?min{?P(1P,0),，}21于P1，令?2?min{?(P2,P0),}，同样，在U(P0,?2)内有一个点P3?E而异于P0，且P3与

31P2和P1都不同. 这样继续下去，得到一个互异点到{Pn}，满足?(Pn,P0)?1n?0(n??).

（3）?（1），设存在一个各点互异的点列{Pn}，使Pn?P0(n??)，则对任何??0，存在K?N?，当n?K时，Pn?U(P0,?)，因为{Pn}是互异点列，所以在U(P0,?)中有无穷多个点{PK?1,PK?2,?}?{Pn}?E. 这样P0是E的聚点.

上述的三个命题既然是等价的，那么（1），（2）和（3）都可以作为聚点的定义. 其中（3）告诉我们，点集的聚点必为E中一个互异点列的极限，因此，也常把E的聚点叫作E的极限点.

根据上面引入的概念，对于一个给定的点集E，我们可以考虑上述各种点的集合，其中重要的是下面四种：

定义4 设E?Rn

（1）称E的全体内点所成之集为E的内部，记为E0； （2）称E的全体聚点所成之集为E的导集，记为E?；

（3）称E的点及其聚点的全体所成之集为E的闭包，记为E，即E?E?E?； （4）称E的全体界点所成之集为E的边界，记为?E.

关于点集E的闭包E，我们有E?E??E?E??E?E??E的全体孤立点. 尽管E的表示形式不同，但本质特征在于：若P?E，则在P的任一邻域U(P)内都至少有一点属于E.

根据这一特征，可以得到下面闭包与内部的对偶关系：

0结论 设E?Rn，则CE?CE，CE?(CE).

00证明 设P?CE，则对P的任何邻域U(P)，都有q?E，亦即对P的任何邻域U(P)，都有点q?CE，由闭包的本质特征，P?CE，这样，CE?CE.

又设P?CE，则对P的任何邻域U(P)，都有点q?CE，所以P?E0，P?CE，这样CE?CE，所以，CE?CE.

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