(2)若C为B的边界,f(z)在B内解析,f(z)在B?C?B上连续,定理仍成立.

(3)定理中曲线C不必是简单的！如图。

推论 设f?z?在单连通区域B内解析，则对任意两点z0, z1?B, 积分终点z1的曲线，即积分与路径无关。见上图§3.3 基本定理推广—复合闭路定理

??复合闭路定理：设①B是由??C?C1??C2???Cn所围成的有界多连通区域.且B?D,

n?f?z?dz不依赖于连接起点zC0与

?C1f(z)dz??f(z)dz??f(z)dz

C2z0z1②f(z)在D内解析,则:?f(z)dz?0,(1),或??f(z)dz???ci?1cif(z)dz(2)

其中:闭C?D,C1,C2,?Cn是在C的内部的简单闭曲线(互不包含也不相交),每一条曲线C及Ci是逆时针,Ci??顺时针.

?证明：设??C?C1??C2??f(z)dz??????c?c1?c2?L1?L1?L2?L?2f(z)dz??AGF'FE'EA'Af(z)dz??AA'EE'FF'HAf(z)dz?0

如：对任意C包含z0在内的正向简单闭曲线有：?C1dz?2?i z?z0???说明：(1)?,C,Ck三者之间的关系:??C?C1?C2???Ck

(2)C,Ck的特点与曲线的正向:C按逆时针方向,Ck按顺时针方向.

(3)0??f(z)dz??????c?c1?c2???ckf(z)dz??f(z)dz???f(z)dz?????f(z)dzcc1ck??f(z)dz??cc1f(z)dz????f(z)dz，

ck?f(z)dz??cc1f(z)dz

此式说明一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的积分值，只要在

变形过程中曲线不经过的f(z)的不解析点.—闭路变形原理 例：计算 2z?1dz?:包含圆周z?1在内的任意正向简单闭曲线. ??2z?z解：原式?(1?1)dz????C?Cz?12z121111dz??dz??1dz??1dz?2?i?2?i?4?i (??dz?0,?dz?0) C1?C2zCz?1CzCz?1Czz?12112练习 计算 ??1dz?:包含圆周z?1在内的任意正向简单闭曲线. z?z解：原式?(1?1)dz????C?Cz?1z1211 11dz??dz??dz??dz?2?i?2?i?0 C1?C2zCz?1Czz?121(??C111dz?0,?dz?0) 作业P99 ，4，5,7(1)(2)

C2zz?1

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第12讲 §3.4原函数与不定积分p80

教学目的：理解原函数与不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的性质和计算，充分掌握柯西积分公式 以及其解析函数的平均值定理；教学重点、难点：柯西积分公式；教材分析：柯西积分公式是解析函数的 积分表达式，可以帮助我们详细地去研究解析函数的局部性质。

1. 原函数与不定积分的概念

由§2基本定理的推论知：设f?z?在单连通区域B内解析，则对B中任意曲线C, 积分径无关，只与起点和终点有关。当起点固定在z0, 终点z在B内变动, 限的单值函数，记作 F(z)??f?z?dz与路

C?f?z?dz在B内就定义了一个变上

C?zz0f(?)d?(1)

定理 设f?z?在单连通区域B内解析，则F(z)在B内解析，且F'(z)?f(z)

定义 若函数? (z) 在区域B内的导数等于f?z? ，即,称? (z)为f?z?在B内的原函数. 上面定理表明F(z)??zz0f(?)d?是f?z?的一个原函数。设G(z)与H(z)是f?z?的任何两个原函数，

?[G(z)?H(z)]'?G'(z)?H'(z)?f(z)?f(z)?0?G(z)?H(z)?c,(c为任意常数)(见第二章§2例3)

这表明：f?z?的任何两个原函数相差一个常数。

定义 设F(z)是f?z?的一个原函数，称F(z)+c(c为任意常数)为f?z?的不定积分，记作定理 设f (z)在单连通区域B内解析， F(z)是f (z)的一个原函数，则

?f(z)dz?F(z)?c

?z1z0f(z)dz?F(z1)?F(z0)(?z0,z1?B)

? 此公式类似于微积分学中的牛顿－莱布尼兹公式.

? 但是要求函数是解析的,比以前的连续条件要强

1z?3,Rez?0,起点为?3i,终点为3i; ?Cz2dz其中C为半圆周：1112i?2?13i在Rez?0，z?0上解析,故dz?z|?解1)? ?3i22?C?2?13zz例1 计算积分：

?13iei?1?i2i2解2：?2dz???2i?d???2?i?d??

Cz?9e3?2e32例2

1???argz??内起点为1,终点为z的任意曲线. ?Czdz其中C为单连通区域D： 30

解?11在D内解析,又lnz是的一个原函数，故zz1?Czdz?lnz?ln1?lnz(z?D).

例3 计算下列积分：

??i?i?nz3i2i1n?1?1zdz?|?i??，?zdz?z|???n?1??n?1

?33n?1n?12???i0zsinzdz??sinz?zcosz?|i0?sini?icosi

小结 求积分的方法

(1)?f(z)dz?lim?f(?k)?xk (2)?f(z)dz??udx?vdy?i?vdx?udy

cn??k?1nc(3)?f(z)dz??f[z(t)]z?(t)dt (4)若f(z)解析,B单连通,C?B,则?f(z)dz?0

c??c(5)若f(z)在B内解析,B单连通,则?f(z)dz?F(z)z1,F'(z)?f(z)

z00z1z§3.5 Cauchy积分公式p84

内 容 简 介 利用Cauchy-Goursat基本定理在多连通域上的推广,即复合闭路定理,导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式,该公式不仅给出了解析函数的一个积分表达式，从而成为研究解析函数的有力工具，而且提供了计算某些复变函数沿闭路积分的方法.

分析设D?单连通,f(z)在D内解析,z0?B,C是D内围绕z0的一条闭曲线,则一般f(z)dz?0，由复合闭路定理得,任意包含z0在内部的曲线C1?C的内部 z?z0f(z)在z0不解析 z?z0.??C?Cf(z)f(z)dz??dz C1z?zz?z00C zC1 D C D z0

C1 特别取 C1?{zz?z0??(??0可充分小)} ?f(z)的连续性,在C上的函数值f(z)当??0时,f(z)?f(z0)

∴猜想积分

?C??0f(z)f(z)1dz??dz??f(z0)?dz?2?if(z0)，这个猜想是对的,这就是下面的定理.

C1z?zC1z?zz?z000定理(Cauchy 积分公式)

1)设f(z)在D内处处解析,2)C是D内任意一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D,

3)z0为C内任意一点?f(z0)?

1f(z)dz

2?i?Cz?z031

证明：设?K?{zz?z?f(z)0?R}?C的内部.?f(z)Cz?zdz?0?Kz?zdz与K的半径R无关 0?只须证明:f(z)Rlim?0?Kz?zdz?2?if(z0).即要证:???0,???0,?z?z0?R??, 0?f(z)Kz?zdz?2?if(z0)?? 0??f(z)?f(z)1?kz?zdz?2?if(z0)?kz?zdz?f(z0)0?kz?zdz?f(z)?f(z0)(z0)kK00z?zdz?0?f(z)?fz?zds??R?Kds?2?? 0?limz?zf(z)?f(z0)????0,???0?z?z0?R??f(z)?f(z0)??

0?limf(z)R?0?Kz?zdz?2?if(z0)?f(z0)?102?i?f(z)Cz?zdz 0(1)若定理条件改为f(z)在C所围区域B内解析,及在C?B?B上连续,Cauchy积分公式仍成立.(2) Cauchy积分公式表明函数在C内部任一点的值可以用它在边界的值来表示. 即若 f?z?在区域边界上的值一经确定, 则它在区域内部任一处的值也就确定了.(3)若C:z?zi?1f(z)1z0?Rei?)0?Re则f(z0)?2?i?Cz?zdz?2?iRei?Riei?d? 0?2?f(0?12?2?? 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.

0f(z0?Rei?)d? 例1 求：1)1sinz2?idz2)z??4zz?（1?2）dz ?4z?1z?3解 1)1sinzdz?sinz dz2?i? z?0?02)z?4zz?(12?4z?1?z?3)dz?z?2?4z?1?z??4z?3dz f(z)?1及2?2?i?1?2?i?2?6?i例2求?2z?1Cz2?zdzC为包含z?1在内的任意简单正向曲线. 2z?12z?1解

?2z?12z?12z?12z?1Cz2?zdz??Cdz?1z?z?z?12C2z2?zdz??C1zdz??z1dz由C积分公式?2?i?2z?12?i ?4?i C2z?z?1z?0zz?1例32设C表圆周x2?y2?3,f(z)??3??7??1d?,求f'(1?i).

C??z解?3z2?7z?1在全平面上处处解析，?f(z)??3?2?7??1?z?3C??zd???0???2?i(3z2?7z?1)z?3 又f'(z)????0z?3??2?i(6z?7)z?3,故f'(1?i)?2?i[6(1?i)?7]?2?(13i?6)

作业P99 ,7，3)-10),8,9

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