2015-2016学年广东省深圳市高级中学高二下学期期中考试数学理试卷

本试卷由二部分组成。第一部分：本学期以前所学内容基础知识和能力考查（共96分）；第二部分：本学期知识内容考查（共54分）。

全卷共计150分，考试时间为120分钟。 注意事项：

1、答题前，考生务必将自己的姓名、考号、座位号涂写在答题卡上。

2、选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动用橡皮擦干净后，再涂

其它答案，不能答在试题卷上。 3、考试结束，监考人员将答题卡收回。

第一部分

一．选择题：共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的一项。 1.若复数z满足

z?i2015?i2016 i为虚数单位），则复数z=（ B ） 1?iA．1 B．2 C．i D．2i D

2sin47??3sin17?2.?( )cos17?A．?3 B．-1 C．3 D．1 3.给出下列三个命题：

(1)“若x?2x?3?0，则x?1”为假命题； (2)命题P:?x?R,2?0：，则?P:?x??R,2??0； (3)“??xx2?2?k?(k?Z)”是“函数y?sin(2x??)为偶函数”的充要条件；

其中正确的个数是（ C ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

x2y22

4.双曲线M：2?2=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F1，F2，抛物线N：y=2px( p>0)的

ab 焦点为F2，点P为双曲线M与抛物线N的一个交点，若线段PF1的中点在y轴上，则

该双曲线的离心率为（B ）

A．3+1 B．2+1 C．

3?12?1 D． 22- 1 -

5.《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺3

1寸，容纳米2000斛(1丈 3 =10尺，l尺=10寸，斛为容积单位，l斛≈1.62立方尺，?≈3)，则圆柱底圆周长约 为( B )

A. l丈3尺 B. 5丈4尺 C. 9丈2尺 D. 48丈6尺

6.已知函数f?x???sin??x???（??0，??0，??如图所示，则f?x?的递增区间为（ B ） A．???2）的部分图象

5?5????????2k?,?2k??，k?? B．???k?,?k??，k??

1212?12??12?5?5????????2k?,?2k??，k?? D．???k?,?k??，k??

66?6??6???C．??7.?ABC的三内角A,B,C的对边分别为a,b,c，其中b=3,c=2.O为?ABC的外心，则AO?BC=( C) A.

1355 B. ? C. D.6 2228.(x2?x?1)5的展开式中，x3的系数为( A )

A.-30 B.-24 C.-20 D.20

9.棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视 图如图所示，那么该几何体的体积是（ D ） A.C.

14B.3

3 10 D.4 310.定义在区间(0，+∞)上的函数f(x)使不等式2f(x)?xf?(x)?3f(x)恒成立，其中 f?(x)为f(x)的导数，则( B )

A．8<

f(2)f(2)f(2)f(2)<16 B．4<<8 C．3<<4 D．2<<3 f(1)f(1)f(1)f(1)二．填空题：共4小题，每小题5分，共20分。

－

11.已知定义在R上的函数f(x)＝2|xm|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为c

B?yC?0与圆x2?y2?4相交于M、N两点，若C2?A2?B2,则

- 2 -

?????????（其中O为坐标原点） OM?ON?____-2_____．

?x?2y?4?0x?y?3?x?213．已知变量x,y满足?，则的取值范围是

x?2?x?y?2?0?

14．在?ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知8b=5c，C=2B,则cosc= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

7 2515.（本小题满分10分）已知数列?an?的前n项和为Sn，且2Sn?1?an?n?N*?. （Ⅰ）求数列?an?的通项公式；

（Ⅱ）记bn?1,cn?log1an3bnbn?1n?1?n，求数列?cn?的前n项和为Tn.

（1）当n=1时，由2Sn=1-an，得：a1=.

13 ??1分

由2Sn=1-an ①

② ??2分

①-②，得：an?所以数列

1an?1(n?2) 3 ??4分

{an}是以首项为

13，公比为

13的等比数列，得：

an?1(n?N*) ??5分 3n

??6分

（2）

cn=n+1-nn(n+1)=1-n1, n+1 ???8分

??10

分

16.（本小题满分6分）如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，过AC1作平面ACD平行于BC1，交AB于D点， 1（Ⅰ）求证：CD?AB

- 3 -

BB1DCAA1C1

（I)证：连结AC1，设AC1与A1C相交于点E，连接DE， 则E为AC1中点，-------------------------------2分 ∵BC1∥平面A1CD，DE?平面ACD?平面ABC1 1∴DE∥BC1，------------------4分 ∴ D为AB的中点，

又∵?ABC为正?，∴CD?AB--------------------------6分

DAA1ECC1B117. 已知圆心为H的圆x+ y +2x -15=0和定点A(1，0)，B是圆上任意一点，线段AB 的中垂线l和直线BH相交于点M,当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为曲线C． (I)求C的方程；

22

B

18.（本小题满分12分）已知函数f?x??点（0,1）.

c?a,b?R?满足f?x?的图象与直线x?y?1?0相切于ax?b(1)求f?x?的解析式，并写出其单调区间；

c?1。故c?0且b?c ① bacaca?又f?(x)??，由，即，???1??1 ?a?c ② f(0)??1c2c(ax?c)21由①②可得f(x)? ???4分

x?1解（1）因为y?f(x)的图像过(0,1)点，即f(0)?1，所以

。。。。。5分 f?x?的单调减区间为(??,?1)和(?1,??)。

第二部分

一．选择题：共3小题，每小题5分，共15分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的一项。

19.如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为（ A）

A．

- 4 -

3131 B. C. D.

884420．如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的T是（ C ）

A．1 B．2 C．3 D．4

21.在如图所示的正方形中随机投掷10 000 个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布 N(－1,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ B ）

A.1 193 B.1 359 C.2 718 D.3 413

附：若X?(?,?2)，则P(?-??X????)=0.6826P(?-2??X???2?)=0.9544

二．填空题：共3小题，每小题5分，共15分。

22.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，?，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落区间?1,450?的人做问卷A，编号落入区间?451,750?的人做问卷B，其余人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为 10

23.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴部分的概率为

影入的

1 624.不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______.?,??? 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

25.(本小题满分12分)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．

某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）

（Ⅰ）从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，求恰有一天空气质量达到一级的概率； （Ⅱ）从这15天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列； （Ⅲ）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．

?1?4?? - 5 -