[第1章习题解答]

1-3 如题1-3图所示，汽车从A地出发，向北行驶60 km到达B地，然后向东行驶60 km到达c地，最后向东北行驶50km到达D地。求汽车行驶的总路程和总位移。 解 汽车行驶的总路程为

S=AB十BC十CD＝(60十60十50)km＝170 km； 汽车的总位移的大小为

Δr=AB/Cos45°十CD＝(84.9十50)km＝135km， 位移的方向沿东北方向，与CD方向一致。 1-4 现有一矢量R是时阃t的函数，问为什么?

解：dRdt与dRdtdRdt与dRdt在一般情况下是否相等?

在一般情况下是不相等的。因为前者是对矢量R的绝

对值(大小或长度)求导，表示矢量R的太小随时间的变化率；而后者是对矢量R的大小和方向两者同时求导，再取绝对值，表示矢量R大小随时问的变化和矢量R方向随时同的变化两部分的绝对值。如果矢量R方向不变，只是大小变化，那么这两个表示式是相等的。

1-5 一质点沿直线L运动，其位置与时间的关系为r =6t2-2t3，r和t的单位分别是米和秒。求： (1)第二秒内的平均速度； (2)第三秒末和第四秒末的速度，

(3)第三秒末和第四秒末的加速度。

解：取直线L的正方向为x轴，以下所求得的速度和加速度，若为正值，表示该速度或加速度沿x轴的正方向，若为负值，表示该速度或加速度沿x轴的反方向。 (1)第二秒内的平均速度

v2?x2?x1(24?16)?(6?2)?m?s?1?4.0m?s?1； t2?t12?1 (2)第三秒末的速度 因为v?dx?12t?6t2，将dtt=3 s代入，就求得第三秒末的速度为

v3=18m·s-1；

用同样的方法可以求得第口秒末的速度为 V4=48m s-1； (3)第三秒末的加速度

d2x因为a?2?12?12t，将

dtt=3 s代入，就求得第三秒末的加速度为

a3= -24m·s-2；

用同样的方法可“求得第四秒末的加速度为 a4= -36m·s-2

1-6 一质点作直线运动，速度和加速度的大小分别为v?试证明： (1)vdv=ads：

(2)当a为常量时，式v2=v02+2a(s-s0)成立。 解

dsdv和a?，dtdt (1)

vdv?dsdvdv?ds?ads； dtdtvv01 (2)对上式积分，等号左边为： ?vvd?v?2v12d(v2)?(v2?v0) 02等号右边为：

?ads?a(s?s)

s00s于是得：v2-v02=2a(s-s0) 即：v2=v02+2a(s-s0)

1-7 质点沿直线运动，在时间t后它离该直线上某定点0的距离s满足关系式：

s=(t -1)2(t- 2)，s和t的单位分别是米和秒。求 (1)当质点经过O点时的速度和加速度； (2)当质点的速度为零时它离开O点的距离； (3)当质点的加速度为零时它离开O点的距离； (4)当质点的速度为12ms-1时它的加速度。 解：取质点沿x轴运动，取坐标原点为定点O。 (1)质点经过O点时．即s=0，由式 (t -1)2(t- 2)=0，可以解得 t=1.0 s．t=2.0 s 当t=1 s时．

v=ds/dt=2(t-1)(t-2)+(t-1)2=0 ms-1 a=dv/dt=4(t-1)+2(t-2)=-2. 0 ms-2

当t=2 s时， v=1.0 ms-1, a=4.0 ms-2。 (2)质点的速度为零，即