2018年高三数学圆的方程试题(含答案) 下载本文

故答案为:(0,1),2. 18.3

【考点】相交弦所在直线的方程;直线的一般式方程与直线的垂直关系.

【分析】两圆的公共弦的方程与两圆连心线垂直,求出公共弦的方程,然后求出m,利用中点在连心线上,求出c,即可求出结果.

【解答】解:已知两圆相交于两点(1,3)和(m,1),且两圆的圆心都在直线

上,所以公共弦方程为:y﹣3=﹣1(x﹣1),所以x+y﹣4=0,因为(m,1)在

公共弦上,m=3;

中点在连心线上,即(2,2)在连心线上,所以c=0,所以m+c=3; 故答案为:3. 19.见解析

(Ⅰ)由A(?1,0),B(3,0),得到直线AC的斜率为∴AC的方程为y?0?2(x?1),即2x?y?2?0, ∴点B到直线AC的距离为: |2?3?2|22?(?1)2?85. 54?0?2,

1?(?1)(Ⅱ)设所求圆的方程为x2?y2?Dx?Ey?F?0, 将A,B,C三点坐标代入方程可得: ?1?D?F?0?, ?9?3D?F?0?17?D?4E?F?0??D??2?解得?E??3,

?F??3?∴圆的方程为x2?y2?2x?3y?3?0. 20.

【考点】抛物线的简单性质.

【分析】(1)由抛物线的焦点坐标求出p值,可得抛物线方程,再由

,代入抛物线方程有

,抛物线在点P2处切线的斜率为,知

程;

(2)设出直线方程y=kx+1且

.由

,求出r,b,可得圆Q的方

,和抛物线方

程联立,利用抛物线的焦点弦长公式求得|MN|,再由圆心距、圆的半径和弦长的关系求得|AB|,从而求得|MN|?|AB|的最小值.

【解答】解:(1)因为抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F(0,1), 所以

,解得p=2,所以抛物线C的方程为x2

=4y.

由抛物线和圆的对称性,可设圆Q:x2+(y﹣b)2=r2, ∵P1Q⊥P2Q,∴△P1QP2是等腰直角三角形,则,∴

,代入抛物线方程有

由题可知在P21,P2处圆和抛物线相切,对抛物线x=4y求导得,所以抛物线在点P2处切线的斜率为.

由,知

,所以

,解得b=3.

所以圆Q的方程为x2+(y﹣3)2=8. (2)设直线l的方程为y=kx+1,且圆心Q(0,3)到直线l的距离为

∴,

由,得y2﹣(2+4k2)y+1=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则

,由抛物线定义知,

,代

所以

设t=1+k2,因为所以

,所以

所以当21.

【考点】抛物线的简单性质.

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.

得y2+8y﹣8b=0.由此利用根的判别式、弦

时,即

时,|MN||AB|有最小值

【分析】(Ⅰ)联立

长公式,结合已知条件能求出圆的方程.

(Ⅱ)由直线l与y轴负半轴相交,得﹣1<b<0,由点O到直线l的距离d=

,得S△AOB=

|AB|d=4

.由此利用导数性质能求出

△AOB的面积的最大值.

2

【解答】解:(Ⅰ)联立得:y+8y﹣8b=0.

依题意应有△=64+32b>0,解得b>﹣2. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 设圆心Q(x0,y0),则应有x0=

,y0=

=﹣4.

因为以AB为直径的圆与x轴相切,得到圆半径为r=|y0|=4, 又|AB|=

所以|AB|=2r, 即

=8,

=

解得b=﹣所以x0=

=2b+8=,﹣4).

)2+(y+4)2=16..

所以圆心为(

故所求圆的方程为(x﹣

(Ⅱ)因为直线l与y轴负半轴相交, ∴b<0,

又l与抛物线交于两点,由(Ⅰ)知b>﹣2, ∴﹣2<b<0, 直线l:y=﹣d=

所以∴S△AOB=

x+b整理得x+2y﹣2b=0,点O到直线l的距离=|AB|d=﹣4b

=4

令g(b)=b3+2b2,﹣2<b<0, g′(b)=3b+4b=3b(b+∴g(b)在(﹣2,﹣

2

),

)增函数,在(﹣

)=

,0)是减函数,

∴g(b)的最大值为g(﹣∴当b=﹣

时,△AOB的面积取得最大值

【点评】本题主要考查圆的方程的求法,考查三角形面积的最大值的求法,考查直线与抛物线、圆等知识,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.