2020版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第5讲简单的三角恒等变换教案理新人教A版 下载本文

第5讲 简单的三角恒等变换

基础知识整合

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

1+cos2α1-cos2α22

1.降幂公式:cosα=,sinα=. 222.升幂公式:1+cos2α=2cosα,1-cos2α=2sinα. 3.公式变形:tanα±tanβ=tan(α±β)(1?tanα·tanβ). 4.辅助角公式:asinx+bcosx=a+bsin(x+φ), 其中sinφ=222

2

ba2+b,cosφ=2

aa2+b2

.

1

1.(2018·全国卷Ⅲ)若sinα=,则cos2α=( )

38778A. B. C.- D.- 9999答案 B

272

解析 cos2α=1-2sinα=1-=.故选B.

99

2.(2019·吉林模拟)若sin(π-α)=,且≤α≤π,则sin2α的值为( )

3242

A.-

9C.22

9

22B.-

9D.42

9

答案 A

11π

解析 ∵sin(π-α)=,即sinα=,又≤α≤π,

332222

∴cosα=-1-sinα=-,

3∴sin2α=2sinαcosα=-

42

. 9

1

3.(2016·全国卷Ⅲ)若tanθ=-,则cos2θ=( )

34A.- 51C. 5答案 D

cosθ-sinθ1-tanθ4

解析 解法一:cos2θ=cosθ-sinθ=2==.故选D. 22

cosθ+sinθ1+tanθ5

2

2

2

2

2

1B.- 54D. 5

1142

解法二:由tanθ=-,可得sinθ=±,因而cos2θ=1-2sinθ=.

35104.(2019·南宁联考)若角α满足sinα+2cosα=0,则tan2α=( ) 4334

A.- B. C.- D. 3443答案 D

2tanα4解析 由题意知,tanα=-2,tan2α==.故选D. 2

1-tanα3

π

5.若函数f(x)=(1+3tanx)cosx,0≤x<,则f(x)的最大值为( )

2A.1 C.3+1 答案 B

B.2 D.3+2

?解析 f(x)=?1+3·

?

取得最大值2.

sinx??π?∴当x=π时,

cosx=cosx+3sinx=2sin?x+?,f(x)?cosx?6?3?

?π?6.(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈?0,?,tanα=2,则

2??

π??cos?α-?=________.

4??答案

310 10

π?ππ?解析 cos?α-?=cosαcos+sinαsin 4?44?=

2

(cosα+sinα). 2

?π?又由α∈?0,?,tanα=2,

2??

255

知sinα=,cosα=,

55

π?2?525?310?α-∴cos?=×?+??=10. 4?2?5?5?

核心考向突破

考向一 三角函数的化简

例1 (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=2cosx-sinx+2,则( ) A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3 B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4

2

2