第5讲 简单的三角恒等变换

基础知识整合

1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

1＋cos2α1－cos2α22

1．降幂公式：cosα＝，sinα＝. 222．升幂公式：1＋cos2α＝2cosα，1－cos2α＝2sinα. 3．公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanα·tanβ)． 4．辅助角公式：asinx＋bcosx＝a＋bsin(x＋φ)， 其中sinφ＝222

2

ba2＋b，cosφ＝2

aa2＋b2

.

1

1．(2018·全国卷Ⅲ)若sinα＝，则cos2α＝( )

38778A. B. C．－ D．－ 9999答案 B

272

解析 cos2α＝1－2sinα＝1－＝.故选B.

99

1π

2．(2019·吉林模拟)若sin(π－α)＝，且≤α≤π，则sin2α的值为( )

3242

A．－

9C.22

9

22B．－

9D.42

9

答案 A

11π

解析 ∵sin(π－α)＝，即sinα＝，又≤α≤π，

332222

∴cosα＝－1－sinα＝－，

3∴sin2α＝2sinαcosα＝－

42

. 9

1

3．(2016·全国卷Ⅲ)若tanθ＝－，则cos2θ＝( )

34A．－ 51C. 5答案 D

cosθ－sinθ1－tanθ4

解析 解法一：cos2θ＝cosθ－sinθ＝2＝＝.故选D. 22

cosθ＋sinθ1＋tanθ5

2

2

2

2

2

1B．－ 54D. 5

1142

解法二：由tanθ＝－，可得sinθ＝±，因而cos2θ＝1－2sinθ＝.

35104．(2019·南宁联考)若角α满足sinα＋2cosα＝0，则tan2α＝( ) 4334

A．－ B. C．－ D. 3443答案 D

2tanα4解析 由题意知，tanα＝－2，tan2α＝＝.故选D. 2

1－tanα3

π

5．若函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx,0≤x<，则f(x)的最大值为( )

2A．1 C.3＋1 答案 B

B．2 D.3＋2

?解析 f(x)＝?1＋3·

?

取得最大值2.

sinx??π?∴当x＝π时，

cosx＝cosx＋3sinx＝2sin?x＋?，f(x)?cosx?6?3?

?π?6．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈?0，?，tanα＝2，则

2??

π??cos?α－?＝________.

4??答案

310 10

π?ππ?解析 cos?α－?＝cosαcos＋sinαsin 4?44?＝

2

(cosα＋sinα)． 2

?π?又由α∈?0，?，tanα＝2，

2??

255

知sinα＝，cosα＝，

55

π?2?525?310?α－∴cos?＝×?＋??＝10. 4?2?5?5?

核心考向突破

考向一 三角函数的化简

例1 (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cosx－sinx＋2，则( ) A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3 B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4

2

2