自考高数线性代数课堂笔记

第一章

线性代数学的核心内容是：研究线性方程组的解的存在条件、解的结构以及解的求法。所用的基本工具是矩阵，而行列式是研究矩阵的很有效的工具之一。行列式作为一种数学工具不但在本课程中极其重要，而且在其他数学学科、乃至在其他许多学科（例如计算机科学、经济学、管理学等）都是必不可少的。

1.1 行列式的定义

（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义 （1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。 行列式

注意：在线性代数中，符号 例如

，且

不是绝对值。 ；

（2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。（主对角线减次对角线的乘积）

例如

（3）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为

例如 =0

三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆

方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式左上角到右下角的对角

线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。 例如： （1）

=1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0 （2）

（3）

（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如

例1 a为何值时，

[答疑编号10010101：针对该题提问]

解 因为

所以8-3a=0，时

例2 当x取何值

[答疑编号10010102：针对该题提问] 解：

时，

解得 0

所以当0

符号：

它由n行、n列元素（共在第j列上。所以n阶行列式

个元素）组成，称之为n阶行列式。其中，每一个数

称为行列式的一个

元素，它的前一个下标i称为行标，它表示这个数在第i行上；后一个下标j 称为列标，它表示这个数

在行列式的第i行和第j列的交叉位置上。为叙述方便起见，我们用(i,j)表示这个位置。

。

通常也简记作

n阶行列式也是一个数，至于它的值的计算方法需要引入下面两个概念。