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因此，y从yNEW返回到y?。

（c）每单位有效劳动的资本会持续不断的上升，直到返回到原先的资本水平k?。在k?处，每单位有效劳动的投资恰好与持平投资相等，即：每单位有效劳动的投资抵消了折旧和技术进步所需要的投资数量。一旦经济返回到平衡增长路径，k便会返回到k?处，从而每单位有效劳动的产出也会返回到原先的水平。所以，一旦经济再次达到平衡增长路径，每单位有效劳动的产出等于新工人出现之前的产出。

1.5 设生产函数是柯布—道格拉斯型的。

（a）找出作为模型参数s、n、?、g和?的函数的k?、y?与c?的表达式。 （b）k的黄金律值是什么？

（c）获得黄金律资本存量所需的储蓄是什么？ 解：（a）下式描述了每单位有效劳动的资本的动态方程式：

定义柯布—道格拉斯生产函数为：f?k??k?，将其代入上式，有下式：

在平衡增长路径处，每单位有效劳动的投资恰好与每单位有效劳动持平投资相等，从而k保持不变，则有下面结果：

sk????n?g???k?

从上式可以解出：

k?=??s/?n+g+????1/?1??? （1）

下面求解平衡增长路径处的每单位有效劳动的产出水平y?：

将方程（1）代入f?k??k?，则可以解出平衡增长路径处的每单位有效劳动的产出水平

y?：

y*???s/?n?g??????/?1??? （2）

下面求解平衡增长路径处的每单位有效劳动的消费水平c?。

将方程（2）代入c???1?s?y?，则可以求得平衡增长路径处的每单位有效劳动的消费水平为：

c*=?1?s???s/?n?g??????/?1??? （3）

综合上述方程（1）、（2）和（3）可以解出k?、y?与c?关于模型参数s、n、?、g和?985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

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的函数表达式。

（b）黄金率的资本存量水平是指每单位有效劳动的消费水平达到最大化时的资本存量水平。考察这一指标的意义在于考察社会的福利水平，这也是经济学一切分析的核心所在，比考察资本、产出等经济变量更有意义。

由方程（1）可以解出s，即：

s=?n+g+??k?1?? （4）

将上式代入方程（3），有下式：

?1???1???c?=?/?n+g+????1??n+g+??K????n+g+??K??/?1???

上式可以简化为：

c*=k*???n+g+d?k* （5）

即每单位有效劳动的消费等于每单位有效劳动的产出减去每单位有效劳动的实际投资，

而均衡状态时，每单位有效劳动的实际投资等于每单位有效劳动的持平投资。

下面求c*关于k*的最优化，可以由（5）得出：

?c*/?k*??k*??1??n+g+???0

再简化为：ak*a?1=?n+g+?? （6） 方程（6）的定义暗含了黄金规则的资本水平。其中，方程（6）左边，因为?k*a?1?f??k*?，则，f??k*???n?g???表明生产函数的斜率等于持平投资的斜率。

可以由方程（6）解出黄金规则要求的最佳资本水平，即k的黄金律值：

*kGR????/?n+g+????1/?1??? （7）

（c）将方程（7）代入方程（4）即可以得到黄金规则所要求的资本水平：

sGR=?n+g+?????/?n+g+?????1???/?1???

进一步简化为：

sGR?? （8） 由方程（8）可以得出：对于柯布—道格拉斯生产函数，黄金规则所要求的储蓄率等于产出的资本弹性，也即资本的产出份额。

1.6 考虑一个正处在平衡增长路径上的索洛经济。为了简化分析，假设不存在技术进步并且现在人口增长率下降。

（a）每个工人平均资本、每个工人平均产出与每个工人平均消费等的均衡增长路径的值发生了什么变化？描述这些经济变量移向其新平衡增长路径的路径。

（b）描述人口增长的下降对产出（即总产出而非每个工人平均产出的）路径的影响。 答：（a）由于不存在技术进步，这里可以不考虑技术因素，将每单位有效劳动简化为平均劳动，定义：y?Y/L，k?K/L。

由于持平投资线的斜率为?n???，因此，人口增长率n的下降会使持平投资线的斜率变985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

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小，持平投资线更加平坦。每个工人平均资本的动态方程为：

由于n下降，这会导致k变为正数（在平衡增长路径上，k为0，即资本存量处于最佳水平）。在k*处，每个工人平均实际投资sf?k*?超过了每个工人平均持平投资?nNEW???k*，

*因而，k*会增加，移向kNEW，如图1-8所示。

??

图1-8 人口增长率下降对每个工人平均稳态资本、平均稳态产出的影响 随着每个工人平均资本的增加，由y?f?k?可以知道每工人平均产出会上升。又因为c??1?s?y，由于s不变，而y上升，因此每个工人平均消费会上升。如图1-9所示。

其中，图1-9（1）为每个工人平均资本的变化图，图1-9（2）为每个工人平均产出的变化图，图1-9（3）为每个工人平均消费的变化图。

图1-9 每个工人平均资本、产出、消费的变化

（b）由定义Y?Ly，则Y的增长率为Y/Y?L/L?y/y。在开始的平衡增长路径上，y/y?0，因此，Y/Y?L/L?n，在最终的平衡增长路径上，Y/Y?L/L?nNEW?n。因此，

????????人口增长的下降会导致总产出的增长率下降，如图1-10所示。

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图1-10 总产出增长率的下降

1.7 找出平衡增长路径上每单位有效劳动的产出y?关于人口增长率n的弹性。如果

?K?k*??1/3、g?2%以及??3%，n由2％下降至1％将会y?使提高多少？

解：由于y??f?k??，所以对该式两边对n求导数，有下式的结果：

?y?/?n?f??k????k?/?n? （1）

而?k/?n值可以从资本的动态方程式k?sf?k???n?g???k中寻找。在平衡增长路径

??上，k?0，k?k?，因此有：sf?k*???n?g???k*，对两边关于n求导，得到下式：

?

求解可得：

（2）

将方程（2）代入（1）式，得：

（3）

由sf?k*???n?g???k*求解s，可得：

s??n?g?d?k*/f?k*? （4）

将方程（4）代入（3）式，可得：

求y*关于n的弹性形式：

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（5）

产出的资本弹性为?K?k*??f??k*?k*/f?k*?，代入（5）式：

（6）

g?2%以及??3%，将?K?k*??1/3、其中n取中值，为0.015，n由2％下降至1％代入，

有下式的结果：

因此，n由2％下降至1％，下降了50%，则产出会上升6%（12%?50%?6%）。可以发

现，人口增长率的大幅度下降并不会导致产出的大幅度增长。

上述结论有着极其重要的价值。在索洛模型中，在解释经济增长的原因时，索洛从资本的角度加以解释，但他发现，资本的差异既不能解释人类历史上长期的增长，也不能解释跨国之间的差距。在索洛模型看来，导致经济增长最主要的原因在于有效劳动。本题则从劳动数量的角度解释增长，发现效果并不明显。

1.8 设在美国，投资所占产出的份额永久性地由0.15上升至0.18，并设资本份额为1/3。

（a）相对于投资不上升的情形，产出最终大约上升多少？ （b）相对于投资不上升的情形，消费大约上升多少？

（c）投资增加对消费的直接影响是什么？消费要恢复到不存在投资增长时的水平，需要花费多长时间？

解：（a）投资所占产出的份额永久性地由0.15上升至0.18，上升20%，表明储蓄率上升了20%。由教材（1.27）可以知道产出关于储蓄的弹性公式为：

?K?k*?为产出的资本弹性，这里假设市场是完全竞争的，不存在市场扭曲，资本取其

边际产品，即产出的资本弹性近似等于资本份额。将?K?k*??1/3代入上述公式，得：

可以看出，产出关于储蓄的弹性为1/2，则储蓄率上升20%，产出会上升10%。

（b）由于储蓄率上升，因此尽管产出上升了10%，但消费并不会上升10%，而会更小一些。在此需要求出消费的储蓄弹性。

由于c*??1?s?y*，对此式两边关于s求导数，得：

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