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等式两边都乘以sc*，得到弹性形式如下：
在等式右边，将c*??1?s?y*替代，化简得：
该式第二项为产出的储蓄弹性，由（a）可知为1/2，投资所占产出的份额永久性地由0.15上升至0.18，即储蓄s份额也由0.15上升至0.18，取中值为0.165，代入上述公式，得：
因此，消费关于储蓄的弹性为0.3，投资所占产出的份额永久性上升20%，可以使消费上升6%（0.3?0.2?0.06）。
（c）投资增加对消费的直接影响是使消费立即下降。原因在于，c*??1?s?y*，在初始平衡增长路径上，y*保持不变，而s则由0.15上升到0.18，即1?s由0.85下降到0.82，下降了0.035。因此，投资增加会立刻导致消费下降0.035。
下面使用校准的方法来检验消费的收敛速度。
s在发生一次性上升后便保持不变，因而消费在新的平衡增长路径上会保持不变。在教材上第17页讨论了k和y的收敛速度。首先定义k的动态方程式：
k?sf?k???n?g???k，在平衡增长路径上，k为0，取k?k?在k?k*上的一阶泰勒展
???开：
令????k?k?/?kk?k??，有下式：
*k?t??????k?t??k?? ?k?t??k*的平衡增长路径为：
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在k?k*求解?：
*k?t??k*?e??t??k?0??k??
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因为?n?g???为6%，而?K?1/3，可以得出?为4%。这意味着k和y每年向平衡增长路径移动4%。由于c??1?s?y，因此消费也以稳定的速率向稳定点移动。可以推出下式：
?
再次简化为：
由题目可知，消费先下降3.5%，而后再上升6%，因此它将移动9.5%。消费必须移动36.8%（3.5%/9.5%?36.8%）才能到达新的平衡增长路径。这意味着到达新平衡增长路径的距离是原距离的63.2%。为了决定收敛的速度，有下面的式子：
e??t*?0.632
*两边取对数，有：??t?ln?0.632?。
求得下面的结果：
t*?0.459/0.040?11.5（年）
因此，消费要恢复到不存在投资增长时的水平，需花费11.5年。
1.9 索洛模型中的要素支付。假设劳动与资本均按其边际产品支付。令w表示?F?K?，AL?/?L，且r表示???F?K?，AL?/?K????。
（a）证明劳动的边际产品w是A??f?k??kf??k???。
（b）证明如果资本与劳动均按其边际产品支付，那么不变的规模报酬意味着生产要素，AL的总支付量等于总的净产出，即证明在不变的规模报酬条件下，wL?rK?F?K? ???K。
（c）随着产出份额被支付给资本与劳动，资本报酬（r）大致也不随时间而变化。处在平衡增长路径上的索洛经济展现这些特征吗？处在均衡增长路径上的w与r的增长率是多少？
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（d）假设经济由一个数量为k?k的水平开始。随着k移向k*，w是否以大于、小于或等于其处在平衡增长路径时的增长率的速率增长？r会怎样呢？
答：（a）劳动的边际产品为：W=?F?K?，AL?/?L 生产函数为：
Y=ALf?k?=ALf?K/AL?
两边关于L取导数：
2 W??Y/?L?ALf??K?????K/AL?f??k??f?k????A??f?k??kf??k???（1）??K/AL???Af?k??A?即：
W?A??f?k??kf??k???
（b）资本的边际产品为：
r=???F?K?，AL?/?K????
生产函数为：Y=ALf?k??ALf?K/AL?，两边关于K取导数：
（2） r???Y/?K????ALf??k??1/AL????f??k??? 将方程（1）和（2）代入wL?rK，得：
wL?rK?A??f?k??kf??k???L???f??k?????K?ALf?k??f??k??K/AL?AL?f??k?K??K
简化为：
wL?rK?ALf?k??f??k?K+f??k?K??K?ALf?k???K?ALF?K/AL?，??1???K
因为不变的规模报酬条件下，ALF?K/AL?，????=F?K?，AL?，所以有下式：
wL?rL?F?ALK/AL?，AL???K?F?K?，AL???K （3）（c）（2）式中r?f??k???，因为?保持不变，而k在平衡增长路径上也保持不变，因
rr?此f??k?不变，r也将保持不变。这意味着?0，从而资本回报率在索洛模型中保持不变。
资本的产出份额为
rK，求其增长率如下： Y
在平衡增长路径上，资本的产出份额保持不变。因为资本的产出份额与劳动的产出份额之和为1，因此，劳动的产出份额也保持不变。
下面求在平衡增长路径上劳动的边际产品增长率。 劳动的边际产品是： 985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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w?A??f?k??kf??k???
两边取对数求劳动的增长率：
w在平衡增长路径上，k?0，因此?g，即劳动的边际产品的增长率为有效劳动增长率。
w??w（d）由（c）知?g?wf?k??kf??k???kf???k?k??。因为f???k??0，如果k?0，则式中第二项为正，
?w当k?k*时，k?0，?g，因此劳动的边际产品增长率比平衡增长路径时更快。
w?资本的边际产品的增长率为：
r当k向k*移动时，k?0，而f???k??0，因此?0，从而资本的边际产品的增长率下降。
r??
1.10 假设像习题1.9中的一样，资本与劳动按其边际产品获得收益。此外，假设一切资本收入被储蓄且所有劳动收入被消费。因此，K????F?K?，AL?/?K??K??K。 （a）证明这种经济收敛于平衡增长路径。
（b）处在平衡增长路径上的k大于、小于或等于k的黄金律水平吗？关于这个结论的直觉是什么？
答：（a）下面证明该经济可以收敛于平衡增长路径。 由k?K/AL，对其两边关于时间求导，可得：
? （1）
LA?FK??，AL/?KK??K?=n?g代入方程（1）将K=?，和，可得： ????LA??? （2）
将?F?K?，AL?/?K?f??k?代入方程（2），可得：
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?
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k?? ?f??k???n?g?????k （3）
当k=0时，每单位有效劳动保持不变。即??f??k???n?g?????=0，因此平衡增长路径上的每单位有效劳动的资本可以由??f??k???n?g?????=0潜在地决定。
k?K/AL，由于在平衡增长路径上k保持不变，因此，K必须与AL保持同样的增长速度。AL的增长速度为n?g，所以K的增长速度为n?g。由于生产函数是规模报酬不变的，
因此，在平衡增长路径上每单位有效劳动的产出增长速度也必须是n?g。
综合上述，可以发现所有变量增长速度均不变。 下面证明经济收敛于平衡增长路径。
在k?k*时，f??k???n?g???=0，此时经济处于平衡增长路径上。如果k?k*，由于f???k??0，所以k?0，则经济向下偏离平衡增长路径；反之，如果k?k*，则k?0，经济
??向上偏离平衡增长路径。所以，不管初始的k如何，经济都将收敛于平衡增长路径，此时 ，所有的经济变量都以不变的速率增长。
（b）满足黄金规则的资本水平是指每单位有效劳动的消费的最大化资本水平，即f??kGR???n?g???。此刻满足生产函数的斜率等于持平投资线的斜率。而这正是经济收敛
到均衡增长路径时k的水平，这时所有的资本收入被储蓄，所有的劳动收入被消费。
在本模型中，将资本的贡献（资本的边际产品乘以资本的数量）储蓄起来。如果资本的贡献超过持平投资，即kf??k?＞?n?g???k，则k上升；反之，如果kf??k???n?g???k，则
k下降。因此，经济收敛于kf??k???n?g???k，或者f??k???n?g???这一点上，此刻经
济收敛于平衡增长路径。
1.11 利用与式（1.28）～（1.31）中相类似的步骤分析，在平衡增长路径附近，y如何快速地收敛于y*。[提示：由于y?f?k?，可以写出k?g?y?，其中g????f?1???。]
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