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图1-12 j收敛于j*

图1-12是j?t?的变化图。忽略j为0这种情况，经济将在j?j*时收敛。同理，由于

y?j?，y将保持不变，即保持在j?j*时的状态。

?总产出Y?A?Ly，由于y保持不变，总产出的增长率为???n。

由定义J?A?Lj可知，在经济收敛于平衡增长路径时，j保持不变，J的增长率为???n。由于J?JA，所以，有效资本存量J的增长率为???n??，或者是n?????1?。因

此，由于所有的变量都以不变的速率增长，经济收敛于平衡增长路径。

（c）在平衡增长路径上，j?t??0，由方程（12）sj????n?????1?????j，可知进一步可推出：j1???s/??n?????1?????。

因此有下式：

j*???s/n?????1?????1/?1???? （13）

?将方程（13）代入（9），可以求得在平衡增长路径上每单位A?t?L?t?的产出的表达式：

y*???s/n?????1??????/?1??? （14）

对y*关于s进行求导，即：

对两边乘以

s以求得弹性形式，即： y*

上式简化为：

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最终可以得到：

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（15）

（d）求y在y?y*处的一阶泰勒展开式，即：

（16）

对方程（9）两边求导，可得：

? （17）

将方程（12）代入（17）中，即：

或者如下：

（18）

方程（18）是用j来表达y，也可以用y来表达j。因为y?j?，可以推出j?y1/?，因

?y可以表达为： ?y???此在y?y*处，

因为y?j?，所以有：

最后，重新整理方程（13）为：s?j1????n?????1?????，代入上式，可得：

上式再简化为：

（19）

将方程（19）代入（16），可得：

?y???1?????n?????1???????y?y?? （20） ?985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

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求解此微分方程，可得：

y?t??y??e??1?????n?????1????????y?0??y?? （21）

这表示经济每年向y*移动?1?????n?????1?????。

（e）本模型中产出关于储蓄的弹性与基本的索洛模型中得到的结果一样。本模型中收敛的速度快于索洛模型中的收敛速度。在基本的索洛模型中，收敛的速度为?1????n?????，小于本模型中的?1?????n?????1?????。

1.13 考虑一个正处在平衡增长路径上的索洛经济，设第1.7节中描述的增长因素分析法可应用于这种经济。

（a）增长因素分析法把每工人平均产出中的多少份额归于每工人平均资本的增长？又把多大的份额归于技术进步？

（b）怎样才能把（a）中得出的结论与如下的事实结合起来，即索洛模型意味着在平衡增长路径上每个工人平均产出增长率由技术进步率唯一地决定？

答：（a）根据增长因素分析法，产出可以分解为：

其中，?K?t?是产出关于资本的弹性，R?t?是索洛剩余。

在平衡增长路径上，每工人平均产出增长率和每工人平均资本增长率都等于技术进步率。在上述公式中，索洛将每工人平均产出的?K?t?部分归于资本的贡献，而将1??K?t?部分归于技术进步，即索洛剩余。通常估计?K?t??1/3，因此，增长因素分析法将67%的贡献归于技术进步，而仅有33%的部分是资本所做的贡献。 （b）从增长因素分析法看，（a）部分的结论是正确的，但是，实际上不完全正确。在平衡增长路径上，资本—劳动比率的增长率为g，这是因为有效劳动的增长率为g。这意味着有效劳动的增长率，即技术的增长率，通过两条路径来提高人均产出：可以直接提高产出，也可以通过提高投入到资本积累中的资源来提高资本—劳动比率。增长因素分析法将通过第二条路径提高人均产出，而不是潜在的路径。因此，增长因素分析法有时并不能提供更深刻的分析。

1.14 （a）在教材中方程（1.38）与（1.39）中有关收敛性与测度误差的模型中，设

b的真实值是-1，就ln?Y/N?1979?ln?Y/N?1870对一常数与ln?Y/N?1870进行回归是否会得出对b的一个有偏估计？请解释。

（b）设在测度1979年每资本平均收入而非1870年每资本平均收入中存在测度误差。ln?Y/N?1979?ln?Y/N?1870对一常数和ln?Y/N?1870的一个回归会产生b的一个有偏估计吗？

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答：（a）最小二乘回归分析中，如果解释变量与误差项之间存在相关关系，则斜率系数估计就是有偏估计。

根据方程（1.38）与（1.39），有：

ln???Y/N?1979???ln???Y/N?1870???a?bln???Y/N?1870???????（1.38）

**ln???Y/N?1870???ln???Y/N?1870???? （1.39）

*假定?与?无关，将（1.39）代入（1.38），可得：

ln?????1?b???? ??Y/N?1979???ln???Y/N?1870???a?bln???Y/N?1870????如果解释变量?????1?b????相关，则进行线性回归所得估计值b就??Y/N?1870??与误差项?是有偏估计。在一般情况下，这一结论是成立的。但是，对于b??1这种特殊情况，则不成立，因为上式中的误差项仅仅是?。这样，即使?与???Y/N?1870??相关，但由于b??1，解释变量与误差项无关，因而最小二乘回归是无偏估计。

（b）被解释变量的测度误差并不会导致最小二乘回归失效，恰恰相反，误差项正是为纠正被解释变量的测度误差而存在的。

如果1870年每资本平均收入存在测度误差，将会导致偏向收敛。如果1870年每资本平均收入被高估了，则增长率就会被低估，此时，一个初始收入高的国家倾向于有一个低的增长速度。反之，如果1870每资本平均收入被低估，则增长率就会被高估，此时，一个初始收入低的国家倾向于有一个高的增长速度。

假设1979年每资本平均收入服从随机的、零测度误差。在给定1870年每资本平均收入的情况下，如果1979年每资本平均收入被高估，则相应的增长率也会被高估；反之，如果1979年每资本平均收入被低估，则相应的增长率也会被低估。因此，没有理由认为1979年每资本平均收入存在测度误差会导致有偏估计。

?bgp?1(1?????r)g。1.15 推出教材中方程（1.50）：g（提示：遵循与方程［1.47］Y/L1??与［1.48］相类似的步骤。）

答：资本的动态方程是：K?t??sY?t???K?t?，从中可以求出K的增长率，即：

?

在平衡增长路径上，K的增长率保持不变，则为保持资本—产出?Y/K?比不变，Y的增长率必须与K保持一致。

给定生产函数Y?t??K?t??R?t??T?t????A?t?L?t???????1???????，两边取对数：

lnY?t???lnK?t???lnR?t???lnT?t???1???????ln??A?t??lnL?t???

再对生产函数两边对时间求导数，即：

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gY?t???gK?t???gR?t???gT?t???1?????????gA?t??gL?t???

将R、T和L的增长率为n，A的增长率为g代入上式，可得：

gY?t???gK?t???n??n??1????????n?g?

上式可简化为：gY?t???gK?t???????n??1?a?n??????n??1???????g 由于在平衡增长路径上，gY?gK，所以：

gY??gY??1???n??1???????g

?1???gY??1???n??1???????g

因此，在平衡增长路径上，产出的增长率为：

在平衡增长路径上，每工人的平均产出增长为下式：

将

和

L?n代入上式，可得： L?

上式再简化为：

，即为教材（1.50）式。

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