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【最新整理】2019高考数学（理）二轮专题练习专题2（3）

导数及其应用（含答案）

第3讲导数及其应用

考情解读 1.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点.2.利用函数的单调性和最值确定函数的解析式或参数的值，突出考查导数的工具性作用． 1．导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．导数与函数单调性的关系

(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.

(2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性． 3．函数的极值与最值

(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题．

(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有．

(3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，

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若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值． 4．定积分的三个公式与一个定理 (1)定积分的性质： ①?kf(x)dx＝k?f(x)dx；

②?[f1(x)±f2(x)]dx＝?f1(x)dx±?f2(x)dx； ③?f(x)dx＝?f(x)dx＋?f(x)dx(其中a

一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么?f(x)dx＝F(b)－F(a). 热点一导数的运算和几何意义

例1 (1)(2014·广东)曲线y＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________．

(2)在平面直角坐标系xOy中，设A是曲线C1：y＝ax3＋1(a>0)与曲线C2：x2＋y2＝的一个公共点，若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，则实数a的值是________．

思维启迪 (1)先根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出点斜式方程，再化为一般式方程．(2)A点坐标是解题的关键点，列方程求出．答案 (1)5x＋y－3＝0 (2)4

解析 (1)因为y′＝e－5x(－5x)′＝－5e－5x，所以y′|x＝0＝－5，

故切线方程为y－3＝－5(x－0)，即5x＋y－3＝0.

(2)设A(x0，y0)，则C1在A处的切线的斜率为f′(x0)＝3ax，C2在A处的切线的斜率为－＝－，

又C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，

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所以(－)·3a＝－1，即y0＝3ax，又ax＝y0－1，所以y0＝，代入C2：x2＋y2＝，得x0＝±，

将x0＝±，y0＝代入y＝ax3＋1(a>0)，得a＝4.

思维升华 (1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．

(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．

(1)已知函数y＝f(x)的导函数为f′(x)且f(x)＝x2f′()

＋sin x，则f′()＝________.

(2)若曲线f(x)＝xsin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于________．答案 (1) (2)2

解析 (1)因为f(x)＝x2f′()＋sin x，所以f′(x)＝2xf′()＋cos x．所以f′()＝2×f′()＋cos.所以f′()＝. (2)f′(x)＝sin x＋xcos x，f′()＝1，

即函数f(x)＝xsin x＋1在点x＝处的切线的斜率是1，直线ax＋2y＋1＝0的斜率是－，所以(－)×1＝－1，解得a＝2. 热点二利用导数研究函数的性质

例2 已知函数f(x)＝(x＋a)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R. (1)求函数f(x)的单调区间；

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