0?1???23 (?1,?2,?3,?4)=(?1,?2,?3,?4)?0?1??1?1?故A在基?1,?2,?3,?4下的矩阵为
00??00?， ?10?12??0?1???23B=X?1AX=?0?1??1?1??2?2?3=??8?3?0??3?43?1631?100??00?10??12???10?1???12?12??2?2?1??10??13???2355??0?1???1?2???1?1200??00? 10??12??32?1010??33?。 4040?33??7?8??(0).设?? A?12) 先求A(0)，它在?1,?2,?3,?4下的坐标为(?1,?2,?3,?4)，且A?
在?1,?2,?3,?4下的坐标为(0,0,0,0,)，则
0?1???12?12??2?2?1??x1??0??????13??x2??0?=。
55??x3??0??????????1?2???x4??0?2因rank(A)=2，故由 ?x1?2x3?x4?0?，
??x1?2x2?x3?3x4?03,1,0)?,X2=(?1,?2,0,1)?。 2可求得基础解系为X1=(?2,?若令?1=(?1,?2,?3,?4)X1，?2=(?1,?2,?3,?4)X2， 则?1,?2即为A A?1(0)的一组基，所以
?1(0)=L(?1,?2)。
再求A的值域AV。因为
A?1=?1??2??3?2?4， A?2=2?2?2?3?2?4，
A?3=2?1??2?5?3??4， A?4?3=?1?3?2?5?3?2?4，
rank(A)=2，故A?1 ,A?2, A?3, A?4的秩也为2，且A?1 ,A?2线性无关，故A?1 ,A?2可组成AV的基，从而AV=L(A?1 ,A?2)。
4) 由2)知?1,?2是A?1(0)的一组基，且知?1,?2, ?1,?2是V的一组基，又
?1??0(?1,?2, a1, a2)=(?1,?2,?3,?4)??0?0?故A在基?1,?2, ?1,?2下的矩阵为
?231?2010001???2??， 0?1??B=
?1??0??0?0??231?2010001???2??0?1???10?1???12?12??2?2?1??13?55??1?2??2?1??0??0?0??231?2010001???2?? 0?1???5?9?=?2?1?2?00??100??。
200??200??24) 由2)知A?1=?1??2??3?2?4, A?2=2?2?2?3?2?4 易知A?1, A?2,?3,?4是V的一组基，且
0?1???12(A?1, A?2,?3,?4)=(?1,?2,?3,?4)?12??1?2?故A在基A?1, A?2,?3,?4下的矩阵为
00??00?， ?10?01??C=
0?1???12?12??1?2?00??00?10??01???10?1???12?12??2?2?1??10??13???1255??12???1?2???1?2200??00? 10??01???5?9?=?2?0?0?2100232001??2??。 0?0??15. 给定P3的两组基
??1?(1,0,1)??1?(1,2,?1)????2?(2,1,0) ??2?(2,2,?1)， ???(1,1,1)???(2,?1,?1)?3?3定义线性变换A: A?i=?i(i=1,2,3)，
1) 写出由基?1,?2,?3到基?1,?2,?3的过度矩阵； 2) 写出在基?1,?2,?3下的矩阵； 3) 写出在基?1,?2,?3下的矩阵。
解 1)由(?1,?2,?3)=(?1,?2,?3)X，引入P
3的一组基e1=(1,0,0), e2=(0,1,0),
e3=(0,0,1)，则
?121???(?1,?2,?3)=(e1,e2,e3)?011?=(e1,e2,e3)A，
?101???所以
22??1??2?1?=(e1,e2,e3)B=(e1,e2,e3)A?1B， (?1,?2,?3)=(e1,e2,e3)?2??1?1?1???故由基?1,?2,?3到基?1,?2,?3的过度矩阵为
?121????1X= AB=?011??101???2)因
?13???2?222???1???322?1=1???2??1?1?1??1??1?2?3??2?3?。 ?25???2?3???2?2?3 A(?1,?2,?3)=(?1,?2,?3)=(?1,?2,?3)?1?2?11?2?故A在基?1,?2,?3下的矩阵为
3??2?3?， ?25???2?3???2?2?3A=?1?2?11?2?3??2?3?。 ?25???2?4) 因A(?1,?2,?3)=A(?1,?2,?3)X=(?1,?2,?3)X，
故A在基?1,?2,?3下的矩阵仍为X.。
16.证明
??1???????2???i1????与???????n????i2???相似，其中(i1,i2,?,in)是1,2,?,n的一????in??个排列。
证 设有线性变换A，使
??1?? A(?1,?2,?,?n)=(?1,?2,?,?n)??????i1??则A(?i1,?i2,?,?in)=(?i1,?i2,?,?in)?????2???=(?1,?2,?,?n)D1， ????n??????=(?i1,?i2,?,?in)D2， ???in???i2于是D1与D2为同一线性变换A在两组不同基下的矩阵,故
??1???????2???i1?????与??????n????i2????相似。 ???in??17.如果A可逆,证明AB与BA相似。
证 因A可逆,故A?1存在，从而A?1(AB)A=( A?1A)BA=BA，所以AB与BA相似。
18.如果A与B相似，C与D相似，证明：??A0??B0??与??相似。
?0B??0D?0??B0??=??0D??， Y?????X?10??A0??X???证 由已知，可设B=XAX, D=YCY，则??0???0Y?1??0C??????1?1?X?10??X??这里??0Y?1?=????00??1?A0??B0?????，故与?相似。 ?????Y??0C??0D?19.求复数域上线性变换空间V的线性变换A的特征值与特征向量.已知A在一组基下的矩阵
为：
11??11???56?3???11?1?1?34??0a????101???1)A=? 2)A= 3)A= 4)A=?? ?52???a0??1?11?1??????12?1??????1?1?11???21?10??001??0?3??????5)A=?010? 6)A=??203? 7)A=??4?10?
?100???1?30??4?8?2???????解 1)设A在给定基?1,?2下的矩阵为A，且A的特征多项式为
?E?A=
??3?5?4??2=?-5?-14=(??7)(??2)，故A的特征值为7，-2。
2先求属于特征值?=7的特征向量。解方程组??4x1?4x2?0?1??，它的基础解系为?，????5x1?5x2?0?1?因此A的属于特征值7的全部特征向量为k?1 (k?0)，其中?1=?1+?2。
??5x1?4x2?0?4?再解方程组?，它的基础解系为???5??，因此A的属于特征值-2的全部?5x?4x?012???特征响向量为k?2(k?0)，其中?2=4?1-5?2。
2)设A在给定基?1,?2下的矩阵为A，且当a=0时，有A=0，所以?E?A=
?02=?， 0?故A的特征值为?1=?2=0。解方程组??0x1?0x2?0?1??0???，它的基础解系为?,?，因此A?????0x1?0x2?0?0??1?的属于特征值0的两个线性无关特征向量为?1=?1，?2=?2，故A以V的任一非零向量为其