= A2+BA- AB A+ AB+ B2- AB2-A2B-BAB +ABAB = A+AB - AA B + AB+ B- AB-AB-ABB +AABB = A+AB - A B + AB+ B- AB-AB-AB +AB = A+B- AB。
2. 设V是数域P上维线性空间,证明:由V的全体变换组成的线性空间是n维的。
n?nn?n2证 因E11，E1n，E21，，E2n，，En1，Enn是P的一组基，P是n维的。
2V的全体线性变换与Pn?n同构,故V的全体线性变换组成的线性空间是n维的。 3. 设A是数域P上n维线性空间V的一个线性变换,证明:
1) 在P[x]中有一次数?n的多项式f(x),使f(A)?0; 2) 如
果
22f(A)?0,g(A)?0最,那么
d(A)?0式,这里
d(x)是f(x)与g(x)的大.；公 因3) A可逆的充分必要条件是:有一常数项不为零的多项式f(x)使f(A)?0。
证 1)因为P上的n维线性空间V的线性变换组成的线性空间是n维的，所以n+1个线性变换A222n2,An2?1,、、、,A,E，一定线性相关,即存在一组不全为零的数an2,an2?1,2,a1,a0使 an2An+an2?1An令f(x)?an2xn2?1+?a1A+a0E=0， 2?an2?1xn?1??a1x?a0,
且ai(i?0,1,2,,n2)不全为零，?（（fx））?n2。
2这就是说，在P[x]中存在一次数?n的多项式f(x),使f(A)?0。即证。 2)由题设知d(x)?u(x)f(x)?v(x)g(x)因为f(A)?0,g(A)?0， 所以d(A)?u(A)f(A)?v(A)g(A)=0。
3)必要性.由1)知,在P[x]中存在一次数?n的多项式f(x),使f(A)?0。即
2an2An+an2?1An22?1+?a1A+a0E=0， 22nn若a0?0,则f(x)?an2x?an2?1x?1??a1x?a0即为所求。若a0?0，
因ai(i?0,1,2,?,n2)不全为零，令aj是不为零的系数中下标最小的那一个，则
an2An+an2?1An22?1+?a1A+a0E=0， 因 A可逆，故存在
A?1,(A?1)j?(Aj)?1也存在，用(Aj)?1右乘等式两边，
n得an2A2?jn+an2?1A22?j?1+…+ajE=0
n2?j?1n令f(x)?an2x?j+an2?1xn2?1+…+aj(aj?0)，即f(x)为所求。
充分性.设有一常数项不为零的多项式
f(x)?an2x?an2?1xn2??a1x?a0(a0?0)使f(A)?0，
mm?1???a1A?a0E?0， 即amA?am?1Amm?1???a1A??a0E， 所以amA?am?1A于是?1(amAm?1???a1E)?A?E， a01(amAm?1???a1E)?E， a0又A??故A可逆。
4. 设A是线性空间V上的可逆线性变换。
1) 证明: A的特征值一定不为0；
2) 证明:如果?是的A特征值，那么
1?1是A的特征值。 ?证 1)设可逆线性变换A对应的矩阵是A,则矩阵A可逆,A的特征多项式f(?)为
f(?)??n?(a11?a22???ann)?n?1???(?1)nA，A可逆 ,故A?0。
又因为A的特征值是的全部根，其积为A?0,故A的特征值一定不为0。 2)设
?是的
A特征值,那么存在非零向量?,使得
1111。 A????,用A?1作用之，得???（A?）?，于是A???1?，即是A?的特征值??5.设A是线性空间V上的线性变换，证明；A的行列式为零的充要条件是A以零作为一个特
征值。
证:设线性变换A矩阵为A,则 A的特征值之积为A。
必要性，设A?0,则A的特征值至少有一个为零,即一另为一个特征值。 充分性，设A有一个特征值
?0?0,那么A?0。
6. 设A是一个n阶下三角矩阵，证明：
1) 如果a?a(i?j,i,j?1,2?n),那么A相似于一对角矩阵；
iijj2) 如果
a?a1122?0(i0?而至少有一a???ann，
i0j0 j)，那么A不与对角矩阵相似。
0证：1)因为A的多项式特征是 f(?)=?E?A?(??又因
a11)(??a22)?(??ann)，
a?aiijj(i?j,i,j?1,2?n)，
故A有n个不同的特征值，从而矩阵A一定可对角化，故A似于对角矩阵。
2)假定 ?a11?? A=??????????1???与对角矩阵B=?????????a11??2n?aia011?2j0???相似， ????n??则它们有相同的特征值
?,?,?,? f(?)=???a?，
1n11,因为A的特征多项式
所以
???12????n?a11,
?a11?由于 B=?????角矩阵相似。
a11???=???a11??a11E是数量矩阵，它只能与自身相似，故A不可能与对
?17.证明:对任一n?n复系数矩阵A ,存在可逆矩阵T,使TAT
证:存在一组基
?11，?，?1r1,?,?s1,?,?sr,使与矩阵A相应的线性变换A在该基下的矩
阵成若尔当标准形J，且
?A??1111112?? ???????? ，
?A1??11r1r1????????????A??s1ss1s2?? ?????????A?srss1rs?????????，
若过度矩阵为P，则
?J1?? P?1AP?J????J2???， ???JS??重排基向量的次序，使之成为一组新基?1r1,?,?11,?,?srs,?,?s1，则由新基到旧基的过渡矩阵为
?Br1?? Q=????Br2?1?????1???，其中B=rj???， ????????Brs??1?rj于是 A(?1r1,?,?11,?,?srs,?,?s1)=(?1r1,?,?11,?,?srs,?,?s1)J?， 故A在此新基下的矩阵即为上三角形 Q(PAP)Q?J? 即存在可逆矩阵T=PQ,使T?1?1?1AT成上三角形。
8. 如果A1,A2,?,As是线性空间V的两两不同的线性变换，那么在V中必存在向量a,使
A1a,A2a,?,Asa也两两不同。
证 令
Vij?????V,A??Aa? (i,j?1,2,?s)，
ij因为Ai0?Aj0?0,0?Vij，故`Vij非空。
又因为A1,A2,?,As两两不同,所以对于每两个Ai,Aj而言,总存在一个向量?,使
Ai??Aj?，故Vij是V的非空真子集。
设?,??Vij,则Ai??A?,Ai??Aj?，于是Ai(???)?Aj(???)，即
????Vij。
又Ai(k?)?kAi??kAj??Aj(k?)，于是k??Vij，故Vij是V的真子空间。
1)如果Vij都是V的非平凡子空间,在V中至少有一个向量不属于所有的Vij,设
??Vij(i,j?1,2,?,s),则
Ai??Aj?(i,j?1,2,?,s)，
即证: 存在向量?使A1?,A2?,?,As?两两不同。
2)如果{Vij}中有V的平凡子空间Vi0j0，则Vi0j0只能是零空间。对于这种Vi0j0,只要取就有Ai??Aj?,故这样的Vij可以去掉。因而问题可归于1),即知也存在向量?使??0，
00A1?,A2?,?,As?两两不同。
9.设A是有限维线性空间V的线性变换,W是V的子空间.AW表示由W中向量的像组成的子空间,证明: dim(AW)?dim(A(0)?W)?dim(W)。
?1.设A(0)?W的维数 证 因为A也是W上的线形变换,故A(0)?W是W的子空间为r,W的维数为s.
今在A(0)?W中取一组基?1,?2,??r,把它扩充成W的一组基?1,?2,??r,?r?1,??s, 则AW?L(A?1,A?2?,A?r,A?r?1?,A?s)=L(A?r?1?,A?s)，
且A?r?1?,A?s线性无关，所以dim(AW)?dim(A(0)?W)?dim(W)。 10.设A,B是n维线性空间V的两个线性变换,证明：
?1?1?1?1rank(AB)?rank(A)+rank(B)?n。
证 在V中取一组基,设线性变换A,B在这组基下对应的矩阵分别为 A,B,则线性变换AB对应的矩阵为AB。
因为线性变换A,B,AB的秩分别等于矩阵A,B,AB的秩,所以对于矩阵A,B,AB有
rank(AB)?rank(A)+rank(B)?n，
故对于线性变换A,B,AB也有
rank(AB)?rank(A)+rank(B)?n。