佳组合比例。
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联立前两个等式可以得到
K3?。此即为在产量一定时成本最小化的资本与劳动的最L10MPLw?求解： MPKr另解：本题也可直接通过要素最优化组合的条件
MPL2LK32Kw3K3?22????? MPK3LK3Lr15L10
8．某厂商的成本函数是TC?50?3Q?0.5Q2，计算Q?5时的平均成本和边际成本，并计算厂商应确定的合理产量以及在此产量下的平均成本。
解：（1）由总成本函数可以求得平均成本函数和边际成本函数：
AC?TC50??3?0.5Q QQdTC?3?Q dQMC?将Q?5代入上面两个式子可得：AC?50?3?0.5?5?15.5，MC?3?5?8。 10（2）厂商所确定的长期合理产量应使得平均成本达到最低。平均成本函数为：
AC?TC50??3?0.5Q QQ平均成本最小化的一阶条件为：此时的平均成本为AC?
dAC50?0.5?2?0，得Q?10，此即为合理的产量水平。 dQQ50?3?0.5?10?13。 109．假设企业F是追求利润最大化的企业，它的生产技术为：y?f?x1,x2?，其中x1，x2是F所采用的两种投入要素，我们假定这两种要素所处的市场是完全竞争的，它们的价格分别为w1，w2。另外，企业F的产品所处的市场也是完全竞争的，F只能以市场确定的价格P进行销售。
（1）请写出利润最大化企业F的目标函数。
（2）给出目标函数的一阶条件，以及二阶充分条件。 （3）写出成本最小化问题，给出该问题的一阶条件。 （4）证明：利润最大化的企业F必定是成本最小化的
（5）假设（3）可以给出成本函数c?y?。请根据此成本函数写出新的利润最大化企业F的目标函数，以及相应的优化一阶和二阶条件。
（6）根据（1）～（5）的提问逻辑，请给出你对（3）中Lagrange乘子?的理解。 解：（1）企业F利润最大化的目标函数为：
??Pf?x1,x2??w1x1?w2x2
（2）目标函数的一阶条件为：
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???Pf1?w1?0 ?x1???Pf2?w2?0 ?x2二阶条件为：Pf11?0，Pf22?0。 （3）成本最小化问题为：
minw1x1?w2x2x1,x2s.. tf?x1,x2??q0
构造拉格朗日函数：
L?w1x1?w2x2????q0?f?x1,x2???，?为拉格朗日乘子。
该问题的一阶条件为：
?L?w1??f1?0 ?x1?L?w2??f2?0 ?x2（4）从（2）和（3）可以看出，利润最大化的一阶条件和成本最小化的一阶条件是相同的，??p。
完整的证明过程如下：
假设某一个要素使用组合x?实现了利润最大化，并且这个利润最大化的要素组合包含于所有可行的要素使用组合，即x*?x?P,w?。
那么根据假设必有：Pf?x???wx??Pf?x??wx。
现在假设x?并没有实现成本最小化，则至少存在一个x?，使得：f?x???f?x*?，且
wx??wx?。可以得到：Pf?x???Pfx?，且?wx???wx*。
??两个式子相加可以得到：Pf?x???wx??Pf?x???wx?，也就是说x?并没有实现利润最大化，这与假设是矛盾的。所以实现了利润最大化的厂商必然也是实现了成本最小化的。
（5）成本给定为c?y?的条件下，企业F利润最大化的目标函数可以表示为：
??Py?c?y?，此时的利润函数完全是产量的函数。一阶条件为：P?c??y?，二阶条件为：? c??y??0，即c??y??0。
（6）在要素市场和产品市场都是完全竞争的条件下，拉格朗日乘子?就是产品市场上的价格向量。
10．假定某厂商需求如下：Q?1000?5P。其中，Q为产量，P为价格。厂商的平均成
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本函数为：AC?
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3000?40。 Q（1）使厂商利润最大化的价格、产量与利润各是多少？
（2）如果政府对每单位产品征收5元税收，新的价格、产量和利润又各是多少？ 解：（1）由Q?1000?5P得P?200?0.2Q，则厂商的利润函数为：
??PQ?TC??200?0.2Q?Q???3000??40?Q??0.2Q2?160Q?3000 ?Q?利润最大化的一阶条件为：
d?d2???0.4Q?160?0，解得：Q?400。又??0.4?0，dQdQ2满足利润最大化的二阶条件，故利润最大化时的产量为Q?400。
此时价格为：P?200?0.2Q?120；
2?4002?200?400?3000?40?400?29000。 利润为：???0．AC?（2）如果单位产品征5元税收．则平均成本变为 3000?45。此时利润函数为： Q??TR?TC?200Q?0.2Q2?3000?45Q??0．2Q2?155Q?3000
利润最大化的一阶条件为
d???0.4Q?155?0，解得Q?387.5。 dQ此时价格为：P?200?0.2?387.5?122.5；
利润为???0.2?387.52?155?387.5?3000?27031.25。
11．某厂商每年销售A商品5000件，每次进货的手续费固定为1000元，而每件的库存费为3元/年，在该商品均匀销售情况下，商店应分几批购进此商品才能使所花费的手续费及库存费之和为最小？
解：在均匀销售情况下，设总费用为C，共分a批购进此种商品，则手续费为1000a，每批购买的件数为
50005000250025007500，平均库存就应该为，总的库存费用为。??3?2aaaaa7500。 adC7500。 ?1000?2?0，得a?7.5（负值舍去）daa总费用为C?1000a?总费用最小化的一阶条件为：
d2C且2da?15000?a?7.5?7.5??3?0，所以a?7.5是极小值。
所以，应分7.5批进货才能使花费的手续费及库存费之和为最小。
12．假定成本函数为Cw,q?C?w1,w2,???,wn,q?，证明谢泼德引理，也就是对第i种要素的需求为xi???C???/?wi。
解：导出成本函数的最优化问题是：
??985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
构造拉格朗日函数：
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min?wixixiis.. tf?x1,x2,???,xn??q
L?w,x,q,????wixi???q?f?x??
i由包络定理可得：
?L?wi?xi?
x?x?另外，令w?x??w?x??w,p??C?w,p?，则有：
?L?wi?C ?wi?x?x?联立上面两个式子即可得到：xi*??C???/?wi。
13．假定一个竞争性厂商，其生产函数为：q?f?K,L??AK?L?，生产要素K和L的价格分别为w，r。
（1）试求在K为不变投入时厂商的短期成本函数。
（2）求厂商的长期成本函数，并讨论不同的规模报酬对平均成本曲线形状的影响。 解：（1）短期内，由于资本投入量固定不变（可假定为K0），代入生产函数可得
1?q?q?AK0?L?，即L??。所以短期成本函数为： ??AK0???1?q?Cs?q??wL?rK0?w??rK0 ??AK0???（2）长期内所有投入要素都是可变的，在这种情况下，厂商的最优化问题（即既定产
量下的成本最小化问题）可以表述为：
minC?rK?wLL,Ks.. tAKL?q??
构造拉格朗日函数：
H?wL?rK???q?AK?L??
成本最小化问题的一阶条件为：
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??H??1??r???AKL?0??K???H?w???AK?L??1?0 ???L??H??????q?AKL?0??q?解得：K????A?1?????w?????r??????q?，L????A?1?????w?????r??????。
所以长期成本函数为：
?q?CL?q??rK?wL?r???A??q? ????A?1???1?????w?????r??????q??w???A?1?????w?????r?????????????????w?????r??w??w??????r??r????????
平均成本函数为：
ACL?q??CL?q?q?A?1????????1?1???????????w?w?r?q??? ?w???????r???r??????对于典型的柯布—道格拉斯生产函数q?f?K,L??AK?L?来说，当????1时表现出规模报酬递增的特性，当????1时则规模报酬不变，当????1时就表现为规模报酬递减。
从上面求出的平均成本函数可以看出，当规模报酬递增时（????1时），
1?1?0，???这说明平均成本和产出之间是一种反向的变动关系，随着产量的增加，平均成本是不断下降的。
当规模报酬递减时（即????1时），
1?1?0，这说明平均成本和产出之间是一种???1?1?0，此时平均成本和产量之间不存在数???正向的变动关系，随着产量的增加，平均成本也是不断上升的。
当规模报酬不变时（即????1时），
量上的因果关系，平均成本不受产量的影响。
14．假设生产函数为f?x1,x2??x1?x2。产品的价格为p，生产要素1和2的价格分别为w1和w2。
（1）求要素需求函数和产出供给函数。 （2）求条件要素需求函数。
（3）要素需求函数和条件要素需求函数之间存在什么关系？ 解：（1）要素需求函数可以通过式子p?MP?w来求得。
1?1/21?1/2根据生产函数y?f?x1,x2??x1?x2，可以得到MP，?xMP?x2。 11222985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解