矢量分析与场论
习题1
1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。
?1?x?acost,y?bsint
?2?x?3sint,y?4sint,z?3cost
解： ?1?r?acosti?bsintj，其图形是xOy平面上之椭圆。
?2?r?3sinti?4sintj?3costk，其图形是平面4x?3y?0与圆柱面
x2?z2?32之交线，为一椭圆。
4．求曲线x?t,y?t,z?223t的一个切向单位矢量?。 32解：曲线的矢量方程为r?ti?tj?23tk 3dr?i?2tj?2t2k 则其切向矢量为dt 模为|dr|?1?4t2?4t4?1?2t2 dt
drdri?2tj?2t2k/||?于是切向单位矢量为
dtdt1?2t226．求曲线x?asint,y?asin2t,z?acost,在t??4处的一个切向矢量。
解：曲线矢量方程为 r?asin2ti?asin2tj?acostk
dr?asin2ti?2acos2tj?asintk 切向矢量为??dt在t??4处，??drdtt??4?ai?a2k 2227.求曲线x?t?1,y?4t?3,z?2t?6t 在对应于t?2 的点M处的切线方程和
法平面方程。
解：由题意得M(5,5,?4),曲线矢量方程为r?(t2?1)i?(4t?3)j?(2t2?6t)k,
在t?2的点M处，切向矢量??drdt?[2ti?4j?(4t?6)k]t?2?4i?4j?2k
t?2于是切线方程为
x?5y?5z?4x?5y?5z?4??,即?? 442221于是法平面方程为2(x?5)?2(y?5)?(z?4)?0，即 2x?2y?z?16?0
8．求曲线r?ti?t2j?t3k上的这样的点，使该点的切线平行于平面x?2y?z?4。 解：曲线切向矢量为??dr?i?2tj?3t2k， ⑴ dt平面的法矢量为n?i?2j?k，由题知
22 ??n?i?2tj?3tk??i?2j?k??1?4t?3t?0
??得t??1,?1。将此依次代入⑴式，得31??3?|t??1??i?j?k,?|故所求点为??1,1?1?,??
t??111i?j?k3927
1??11,,?? ?3927?习题2
1．说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面。
?1?u?1;
Ax?By?Cz?Dzx?y22?2?u?arcsin 解：?1?场所在的空间区域是除Ax?By?Cz?D?0外的空间。 等值面为
11（C1?0为任意常数），这是与平?C1或Ax?By?Cz?D??0Ax?By?Cz?DC1面Ax?By?Cz?D?0平行的空间。
?2?场所在的空间区域是除原点以外的z2?x2?y2的点所组成的空间部分。
等值面为z2?(x2?y2)sin2c,(x2?y2?0)，
当sinc?0时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面（除顶点外）； 当sinc?0时，是除原点外的xOy平面。
x2?y22．求数量场u?经过点M?1,1,2?的等值面方程。
z解：经过点M?1,1,2?等值面方程为
x2?y212?12u???1，
z2即z?x2?y2，是除去原点的旋转抛物面。
3．已知数量场u?xy，求场中与直线x?2y?4?0相切的等值线方程。 解：设切点为x0,y0，等值面方程为xy?c?x0y0，因相切，则斜率为 k????y01??，即x0?2y0 x02点x0,y0在所给直线上，有
??x0?2y0?4?0
解之得y0?1,x0?2 故xy?2
4．求矢量A?xyi?xyj?zyk的矢量线方程。 解 矢量线满足的微分方程为
A?dr?0， 或
222dxdydz ??xy2x2yzy2dxdz?. xz有xdx?ydy,