全等三角形及其辅助线作法

常见辅助线的作法有以下几种：

1) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中

的“旋转”（或构造平行线的X型全等）．

2) 遇到角平分线，一是可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，二是在角的两边上截取相同的线段，构成

全等。利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，也是运用了角的对称性。

3) 截长法与补短法，具体做法是在较长线段上截取一条线段与特定线段相等，使剩下的线段与另一条线段相等；

或者是将两条较短线段中的一条延长，使这两条线段的和等于较长的线段。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等题目．

4) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．也可

以将两腰分拆到两个三角形中，证明这两个三角形全等。特殊的应用有等边三角形与等腰直角三角形。 5) 此外，还有旋转、折叠等情况。

(一)、中点线段倍长问题（中线倍长或者倍长中线）：

1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.

CBD2、如图△ABC中，点D是BC边中点，过点D作直线交AB、CA延长线于点E、F。当AE=AF时，求证BE=CF。

F A E

C B D 3、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

4、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.

AAEFBDACBDEC

5 如图，AB=AC，AD=AE，M为BE中点，∠BAC=∠DAE=90°。求证：AM⊥DC。 应用：

BD D M CD ED AD 1、以△ABC以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，且∠BAD=∠CAE-90°，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．

（1）如图① 当△ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ， 线段AM与DE的数量关系是 ；

（2）将图①中的等腰Rt△ABD绕点A沿逆时针方向旋转θ° (0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

（二）角平分线与轴对称

1、如图，已知AD为△ABC的角平分线，∠C=2∠B，求证:AB=AC+CD. A D C B

2、 如图，直线l1∥l2，直线m与直线l1 、l2交于A、B两点。AE、BE为其同旁内角平分线，过E点作直线与l1 、

l2交于D、C两点，求证AD+BC=AB。

l1 l2

C E D

m A B

3、如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD。

C

4、如图，BC>BA，BD平分∠ABC，且AD=CD，求证：∠A+∠C=180。

C

5、（1）如图①，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°,CD平分∠ACB，点E为AB上一点，且CE=BE，PE⊥AB交CD的延长线于P，求∠PAC+∠PBC的度数。

（2）如图②，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC≠60°,CD平分∠ACB,点E为AB上一点，且CE=BE,PE⊥AB交CD的延长线于P。（1）中结论是否成立，说明理由。 P P

A A

D D E E B B C C

（三）截长补短型

D 1、如图，AB∥CD,BE,CE分别平分∠ABC,∠DCB,求证：AB+CD=BC

E

A C B

2、如图，Rt△ACB中，AC=BC,AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD交AD于F点，交AB于E点，求证：AD=2DF+CE

A

E F B C D

A D

3．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE。

4. 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，

B

D

A

DE B CC

AEB求证： ∠ADC+∠B=180o

5. 已知：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，?A=108°，BD平分?ABC。

求证：BC=AB+DC。

16. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB于M，且AM=MB。求证：CD=DB。 A

B C

A D

2

C

D

M

2

7、如图，直线AB交x轴于A(m,o)，交y轴于（Bo,n）,其中m,n满足m+4m+4+ 1?n=0.C为B点关于x轴的对称点，当直线OF的解析式y=kx，当k的值发生改变时（但始终保持k＜0）。过C点作CE∥AB交直线于E点，下列两个结论：①

B

AF?CEAF?CE的值不变。②的值不变。其中有且只有一个是正确的，请你找出正确的结论并求

ACACy 其值。

B F

O A

x E C

（四）等腰直角三角形，等边三角形

1、 如图，已知BE、CF是△ABC中AC、AB上的高，在射线BE上截取BP=AC，在射线CF上截取CQ=AB，求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ； E C

A D B 图

2、如图①OA=2，OB=4，以A点为顶点，AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC。(1)求C点的坐标。

y y y O H A O x x F C B ① ③ G (2)如图②，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，若以P点为顶点，PA为腰作等腰Rt△

APD，过D点作DE⊥x轴于E点，求OP-DE的值。 （3）如图③，已知点F坐标为(-4，-4)，当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH=90°，FG与y轴负半轴交于点G(o,m),FH与x轴正半轴交于点H(n,o)，当G点在y轴负半轴沿负方向运动时，求m+n的值。

3、如图，△ABC中，AB=AC, ∠A=90°,点D为BC边的中点，E、F分别在AB、BC上，且ED⊥FD，EG⊥BC于G点，FH⊥BC于H点，下列结论：① DE=DF②AE+AF=AB③S四边形AEDF=

11S△ABC.④EG+FG=BC,其中结论正确的是（ ） 22A、只有②③. B、只有①④. C、只有①②③. D、只有①②③④.

A E F

C B G D H

4、如图，在△ACE中，∠ACB=90°,AC=BC,BC与y轴交于D点，点C的坐标为(-1，0).点A的坐标为(-4,2),，则D

y