一、数学期望的定义及性质

（一）数学期望分为离散型和连续型

1、离散型

离散型随机变量的一切可能的取值Xi与对应的概率Pi(=Xi)之积的和称为该离散型随机变量的数学期望（设级数绝对收敛），记为E（X）。数学期望是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。如果随机变量只取得有限个值，称之为离散型随机变量的数学期望。它是简单算术平均的一种推广，类似加权平均。E(X) = X1*P(X1） + X2*P(X2)+ …… + Xn*P(Xn)。X1,X2,X3，……，Xn 为这几个数据，P(X1）,P(X2）,P(X3），……，P(Xn)为这几个数据的概率函数。在随机出现的几个数据中，P(X1）,P(X2）,P(X3），……，P(Xn)概率函数就理解为数据X1,X2,X3，……，Xn出现的频率f(Xi),则：E(X) = X1*P(X1） + X2*P(X2） + …… + Xn*P(Xn) = X1*f1(X1） + X2*f2(X2） + …… + Xn*fn(Xn)。

2、连续型

连续型则是：设连续性随机变量X的概率密度函数为f（X），若积分绝对收敛，则称积分的值为随机变量的数学期望，记为E(X)。若随机变量X的分布函数F(X)可表示成一个非负可积函数f(X)的积分，则称X为连续随机变量，f(X)称为X的概率密度函数（分布密度函数）。能按一定次序一一列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随机变量称为连续型随机变量。

（二）数学期望的常用性质

1.设X是随机变量，C是常数，则E（CX）=CE（X）；

2.设X，Y是任意两个随机变量，则有E（X+Y）=E（X）+E（Y）； 3.设X,Y是相互独立的随机变量，则有E（XY）=E（X）E（Y）。

对于第一条性质，假设E（X）你的考试成绩，C为你们全班人数，则你们全班总分的期望等于全班人数乘以个人的期望，这很好理解。

对于第二条性质，E（X）为你的考试成绩，E(Y)是小明的考试成绩，你和他成绩总和的期望当然等于你和他的期望值和。

对于第三条性质，我们一再强调是独立的，也就是相互没有关联，有关联是肯定是不是不等的。

二、数学期望在生活中的运用

（一）经济决策问题

假设某一超市出售的某种商品，每周的需求量X在10至30范围内等可能取值，该商品的进货量也在10至30范围内等可能取值（每周只进一次货）超市每销售一单位商品可获利500元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，可从其他超市调拨，此时超市商品可获利300元。试计算进货量多少时，超市可获得最佳利润？并求出最大利润的期望值。

分析：由于该商品的需求量（销售量）X是一个随机变量，它在区间[10,30]上均匀分布，而销售该商品的利润值Y也是随机变量，它是X的函数，称为随机变量的函数。题中所涉及的最佳利润只能是利润的数学期望（即平均利润的最大值）。因此，本问题的解算过程是先确定Y与X的函数关系，再求出Y的期望E（Y），最后利用极值法求出E（Y）的极大值点及最大值。

先假设每周的进货量为a，则 Y=??500a?300(x?a),x?a?500x?100(a?x),x?a

?200a?300x,x?a =??600x?100a,x?a 利润Y的数学期望为：

EY =

1a130(600x?100a)dx(300x?200a)dx +??10a20202

=-7.52a+350a+5250

dEY=-15a+350=0 da350a=?23.33 1570270EY的最大值max EY=-7.5×()+350×+5250?9333.3元

33根据结果可知，周最佳进货量为23.33（单位），最大利润的期望值为9333.3元。

在经济活动中，不论是厂家的生产还是商家的销售，总是追求利润的最大化，供大于求或供不应求都不利于获得最大利润。但供应量和需求量又不是预先知道的。理性的厂家或商家往往根据过去的数据(概率），用数学期望结合微积分的有关知识，制定最佳的生产或销售策略。

（二）投资方案问题

假设某人用10万元进行为期一年的投资，有两种投资方案：一是购买股票;二是存入银行获取利息。买股票的收益取决于经济形势，若经济形势好可获利4万元，形势中等可获利1万元，形势不好要损失2万元。如果存入银行，假设利率为8%，可得利息8000元，又设经济形势好、中、差的概率分别为30%、50%、20%。试问应选择哪一种方案可使投资的效益较大？

比较两种投资方案获利的期望大小：

购买股票的获利期望是E(A1)=4×0.3+1×0.5+(-2)×0.2=1.3(万元）,存入银行的获利期望是E(A2)=0.8（万元），由于E(A1)>E(A2)，所以购买股票的期望收益比存入银行的期望收益大，应采用购买股票的方案。在这里，投资方案有两种，但经济形势是一个不确定因素,做出选择的根据必须是数学期望高的方案。

（三）体育比赛问题

我国的羽毛球在世界上处于领先水平，技术风格是“快速、凶狠、准确、灵活”；指导思想是“以我为主，以快为主，以攻为主”。现以羽毛球比赛的安排提出一个问题：假设马来西亚队和中国队比赛。赛制有两种，一种是双方各出3人, 三局两胜制, 一种是双方各出5人，五局三胜制, 哪一种赛制对中国队更有利？下面,我们利用数学期望解答这个问题。由于中国队在这项比赛中的优势，我们不妨设中国队中每一位队员对马来西亚队员的胜率都为60%。根据前面的分析，下面我们只需要比较两个队对应的数学期望即可。

在五局三胜制中，中国队要取得胜利, 获胜的场数有3、4、5三种结果。我们计算三种结果对应的概率。

应用二项式定理可知，恰好获胜三场(即其中两场失利)对应的概率：

32(0.6)(1?0.6)?0.3456c543；

41(0.6)(1?0.6)恰好获胜四场对应的概率为：c5?0.2592； 。

五场全部获胜的概率为：

50(0.6)(1?0.6)?0.07776c55

设随机变量为x为为该赛制下中国队在比赛中获胜的场数，则可建立x分布律： X P 3 0.3456 4 0.2592 5 0.07776

计算随机变量X 的数学期望:

E(X) = 3?0. 346 5 + 4?0. 259 2 + 5?0. 077 76= 2.465 1； 在三场两胜制中，中国队取得胜利，获胜的场数有2、3两种结果。对应的概率分别为：恰好获胜两场(其中有一场失利)对应的概率：

32(0.6)(1?0.6)?0.432c32；

三场全部获胜的概率为：

30(0.6)(1?0.6)?0.216c3。

设随机变量Y为该赛制下中国队在比赛中获胜的场数, 则可建立Y的分布律： Y P 2 0.432 3 0.216 计算随机变量Y的数学期望:

E(Y) = 2×0. 432+3×0. 216=1. 512。

比较两个期望值得：E(X)> E(Y)。所以我们可以得出结论，五局三胜制对中国队更有利。