三角形的证明

【知识点一：全等三角形的判定与性质】 1．判定和性质

判定 角角边（AAS）、边边边（SSS） 对应边相等，对应角相等 性质 对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等 斜边和一条直角边对应相等（HL） 一般三角形 边角边（SAS）、角边角（ASA） 直角三角形 具备一般三角形的判定方法 2．证题的思路：

??找夹角（SAS）???已知两边?找直角（HL）?找第三边（SSS）?????若边为角的对边，则找任意角（AAS）????找已知角的另一边（SAS）??已知一边一角?? ??边为角的邻边?找已知边的对角（AAS）?找夹已知边的另一角（ASA）????????找两角的夹边（ASA）?已知两角???找任意一边（AAS）?【典型例题】

1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ） A．SSS B．ASA

C．AAS D．角平分线上的点到角两边距离相等 2．下列说法中，正确的是（ ）

A．两腰对应相等的两个等腰三角形全等 B．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 C．两锐角对应相等的两个直角三角形全等 D．面积相等的两个三角形全等 3．如图，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°， 则∠EAC的度数为（ ） A．40°

B．35°

C．30°

D．25°

4．已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM.

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5．用三角板可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM＝ON （如图5－7），再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，请你说出其中的道理．

图5－7

【巩固练习】

1．下列说法正确的是（ ）

A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．斜边相等的两个直角三角形全等 C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等 D．一边长相等的两等腰直角三角形全等 2．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB≌

△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（ ） A．15° B．20°

C．25°

D．30°

3．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是 （ ）

A．甲和乙

B．乙和丙

C．只有乙

D．只有丙

4．如图4－9，已知ΔABC≌ΔA'B'C'，AD、A'D'分别是ΔABC和ΔA'B'C'的角平分线．

（1）请证明AD＝A'D'；

（2）把上述结论用文字叙述出来； （3）你还能得出其他类似的结论吗?

图4－9

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5．如图4－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．

（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF．

图4－10

（2）如图4－11，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、

BF之间的关系．

①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD．

图4－11

【知识点二：等腰三角形的判定与性质】

等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 等腰三角形的性质：

① 等腰三角形的两底角相等（等边对等角）；

② 等腰三角形“三线合一”的性质：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； ③ 等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高、中线也相等．

【典型例题】

1．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）

A．12

B．15 C．12或15

D．18

2．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ）

A．80°

B．80°或20°

C．80°或50°

D．20°

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