第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
问题解答
3-1 如图所示，设地球在太阳引力的作用下，绕太阳作匀速圆周运动。试问：在下述情况下，（1）地球从点A运动到点B，（2）地球从点A运动到点C，（3）地球从点A出发绕行一周又返回点A，地球的动量增量和所受的冲量各为多少？
Mmmv2解 由G2?可得，地球绕太阳作圆周
RRvC
A B C GM运动的速率为v?，方向沿轨道切线方向。
R（1）地球从A到B，动量增量的大小为
vAvB vA ?PAB?m?vAB?m2v?m方向与B点速度方向成45角。
2GM R在运动过程中，地球只受到引力作用，由动量定理可知，地球所受的冲量等于动量的增量，即 IAB??P?mAB2GM R方向与B点速度方向成45角。
（2）同理，地球从A运动到C，动量增量大小为
?PAC?m?vAC?2mv?2mGM，方向与C点速度方向相同。 RGM，方向与C点速度方向相同。 R此过程中地球所受的冲量为IAC??PAC?2m（3）当地球绕行一周回到A时，动量增量为零，地球所受到的冲量也为零。
3-2 假使你处在摩擦可略去不计的覆盖着冰的湖面上，周围又无其它可以利用的工具，你怎样依靠自身的努力返回湖岸呢？
解 可以将身上所带的物品往后扔，由于动量守恒，人自身会向前进。
3-3 质点系的动量守恒，是否意味着该系统中，一部分质点的速率变大时，另一部分质点的速率一定会变小？
解 不一定，因为动量是矢量，既有大小也有方向。例如炸弹爆炸，产生的碎片获得的速率相对爆炸前都增大，但方向不一。
3-4 一人在帆船上用电动鼓风机正对帆鼓风，帆船是前进，还是后退？为什么？ 解 帆船仍然静止，鼓风机所鼓的风对帆及其自身都有作用力，对于整个帆船来看，风对帆和鼓风机的力属于内力，动量守恒。
3-5 在大气中，打开充气气球下方的塞子，让空气从球中冲出，气球可在大气中上升。如果在真空中打开气球的塞子，气球也会上升吗？说明其道理。
解 气球会上升，由动量守恒，从气球中乡下冲出的空气会给气球一个向上的冲力。
3-6 在水平光滑的平面上放一长为L、质量为m?的小车，车的一端站有质量为m的人，人和车都是静止不动的。人以速率v相对地面从车的一端走向另一端，在此过程中人和小车相对地面各移动了多少距
v 离？
v? 解 如图所示，取人与车为系统，在水平
方向系统不受外力，满足动量守恒。设小车沿地面的速率为v?，所以有 mv?m?v? s s? l 将上式两边乘以dt，并对时间积分
m?vdt?m??v?dt （1）
00tt设t时刻，人刚好走到小车另一端，此时人相对于地面运动的距离为s，小车相对于地面运动的距离为s?，所以s??t0vdt，s???v?dt，代入（1）式有
0tms?m?s? （2）
又由图示可知 s?s??l （3）
由（2）（3）可得
m?l ?m?mml 小车对地面移动的距离为s??m?m?人对地面移动的距离为s?
3-7 人从大船上容易跳上岸，而从小舟上则不容易跳上岸了，这是为什么？ 解 船与河岸的距离一定，人要能跳上岸，则他相对于地面的速率必须要达到一定的值，假设这个所需的速率为v1，设人的质量为m1，船的质量为m2，并且当起跳时人相对船的速率为u，由相对运动可知，此时船相对地面运动的速率为
v2??u?v1?.
取人与船为一个系统，起跳过程中，在水平方向满足动量守恒，即
m1v1?m2?u?v1? ?m?u??1?1?v1
?m2?又上式分析可知，人的质量m1、人相对地面所需的速度
v1恒定，当船的质量越小，则人相对船起跳的速率也要越大，即人从小舟跳上岸要
困难些。
3-8 质点的动量和动能是否与惯性系的选取有关？功是否与惯性系有关？质点的动量定理和动能定理是否与惯性系有关？请举例说明。
解 质点的速度v因惯性系选取的不同而不同，所以质点的动量和动能都与惯性系的选取有关；由位移dr?vdt，即位移与惯性系有关，所以对于功dW?F?dr也与惯性系有关；动量定理与惯性系选取无关；动能定理与惯性系有关。
例如，在一辆以速率u匀速前进的火车上，一乘客用一恒定力F拉动物体A，使物体相对于火车由静止开始运动，则物体相对于
当运动t秒后，取地面为参考系，物体的动量为P?m?u?at?，动能为
Ek?112m?u?at?，力F作功W?at2F，这段时间内其动量定理表达式为 22112??1Ft?m?v?mat，动能定理表达式为F?ut?at2??m?u?at??mu2
22??2取火车为参考系，物体的动量为P?mat，动能为Ek?表达式Ft?m?v?mat，动能定理表达式为
2?1?1F?at2??m?at? ?2?212m?at?，动量定理2
3-9 关于质点系的动能定理，有人认为可以这样得到，即：“在质点系内，由于各质点间相互作用的力（内力）总是成对出现的，他们大小相等方向相反，因而所有内力做功相互抵消。这样质点系的总动能增量等于外力对质点系做的功”。显然这与式（3-20）所表述的质点系动能定理不符。错误出在哪里呢？
解 这种观点不正确，各质点间的内力虽是成对出现的，且大小相等方向相反，