相似三角形的存在性问题解题策略
专题攻略
相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．
判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验，如例题1、2、3、4．
应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题6． 应用判定定理3解题不多见，如例题5，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．
例题解析
例? 如图1-1，抛物线y?123B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C．动x?x?4与x轴交于A、
82直线EF（EF//x轴）从点C开始，以每秒1个单位的速度沿y轴负方向平移，且分别交y轴、线段BC于E、
F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动．是否存在t，使得△BPF与△ABC相似．若存在，试求出t的值；若不存在，请说明理由．
图1-1
【解析】△BPF与△ABC有公共角∠B，那么我们梳理两个三角形中夹∠B的两条边．
123x?x?4，可得A(4, 0)、B(8, 0)、C(0, 4)． 82CECO1于是得到BA＝4，BC＝45．还可得到??．
EFOB2△BPF中，BP＝2t，那么BF的长用含t的式子表示出来，问题就解决了．
△ABC是确定的．由y?在Rt△EFC中，CE＝t，EF＝2t，所以CF?5t． 因此BF?45?5t?5(4?t)．
于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程： ①当
4BABP42t时，．解得t?（如图1-2）． ??3BCBF455(4?t)BABF45(4?t)．解得20（如图1-3）．
时，?t??BCBP72t45②当
图1-2 图1-3
2
例? 如图2-1，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线y＝ax＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．
（1）求这条抛物线的解析式； （2）连结OM，求∠AOM的大小；
（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．
图2-1 【解析】△ABC与△AOM中相等的一组角在哪里呢？
本题由简到难，层层深入．第（1）题求出抛物线的解析式，得到顶点M的坐标，为第（2）题求∠AOM的大小作铺垫；求得了∠AOM的大小，第（3）题暗示了要在△ABC中寻找与∠AOM相等的角．
（1）如图2-2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．容易得到A(?1,3)．
再由A(?1,3)、B(2,0)两点，可求得抛物线的解析式为y?3223x?x． 33（2）由y?3223333，得顶点M (1,?x?x?(x?1)2?)．
333333．所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°． 3所以tan?BOM?
图2-2
（3）由A(?1,3)、B(2,0)，可得∠ABO＝30°． 因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°． 所以△ABC与△AOM相似，存在两种情况： ①当
BAOABA23??3时，BC???2．此时C(4,0)（如图2-3）． BCOM33BCOA??3时，BC?3BA?3?23?6．此时C(8,0)（如图2-4）． BAOM②当
图2-3 图2-4
例? 如图3-1，抛物线y＝ax＋bx－3与x轴交于A(1, 0)、B(3, 0)两点，与y轴交于点D，顶点为C． （1）求此抛物线的解析式；
（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2
图3-1
【解析】△AMN是直角三角形，因此必须先证明△BCD是直角三角形．一般情况下，根据直角边对应成比例分两种情况列方程．
（1）抛物线的解析式为y＝－x＋4x－3．
（2）由y＝－x＋4x－3＝－(x－2)＋1，得D(0,－3)，C(2, 1)．
如图3-2，由B(3, 0)、D(0,－3)、C(2, 1)，可知∠CBO＝45°，∠DBO＝45°． 所以∠CBD＝90°，且
BC21??． BD3232
2
2
图3-2 图3-3 图3-4
设点M、N的横坐标为x，那么NM＝－yM，而NA的长要分N在A的右边或左边两种情况，因此列方程要“两次分类”：
当N在A右侧时，NA＝x－1，分两种情况列方程： ①当②当
x?110NABD107?3．解得x?．此时M(,?)（如图3-3）． ??3时，
(x?1)(x?3)3NMBC39x?11NABC1?．解得x＝6．此时M(6,－15)（如图3-5）． ??时，
(x?1)(x?3)3NMBD31?xNABD8?3．解得x?＞1，不符合题意（如图3-4）． ??3时，
(x?1)(x?3)NMBC3当N在A左侧时，NA＝1－x，也要分两种情况列方程： ①当
②当
1?x1NABC1?．解得x＝0，此时M(0,－3)（如图3-6）． ??时，
(x?1)(x?3)3NMBD3
图3-5 图3-6
例? 如图4-1，在平面直角坐标系中，A(8,0)，B(0,6)，点C在x轴上，BC平分∠OBA．点P在直线
AB上，直线CP与y轴交于点F，如果△ACP与△BPF相似，求直线CP的解析式．
图4-1
【解析】首先求得点C(3,0)．△ACP与△BPF中，相等的角在哪里啊？
①如图4-2，当点P在线段AB上时，△ACP与△BPF中，∠APC与∠BPF是邻补角，如果这两个邻补角一个是锐角，一个是钝角，两个三角形怎么可能相似呢？因此CP与AB是垂直的．可以求得F(0,－4)，于是直线CF(CP)为y?4x?4． 3②如图4-3，当点P在AB的延长线上时，△ACP与△BPF有公共角∠P．于是∠OFC＝∠PFB＝∠A，可
4以求得F(0, 4)，因此直线CF(CP)为y??x?4．
3③如图4-4，当点P在BA的延长线上时，∠B与∠PCA不可能相等．在△AOB中，根据大边对大角，∠B＞∠BAO；∠BAO又是△PCA的一个外角，∠BAO＞∠PCA．
图4-2 图4-3 图4-4
例? 如图5-1，二次函数y＝x＋3x的图象经过点A(1,a)，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D．在
2
y轴上取一点C(0, 2)，直线AC交抛物线于点B，连结OA、OB、OD、BD．求坐标平面内使△EOD∽△AOB的
点E的坐标；