中考数学压轴题解题策略:相似三角形的存在性问题 下载本文

相似三角形的存在性问题解题策略

专题攻略

相似三角形的判定定理有3个,其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件,因此探求两个三角形相似的动态问题,一般情况下首先寻找一组对应角相等.

判定定理2是最常用的解题依据,一般分三步:寻找一组等角,分两种情况列比例方程,解方程并检验,如例题1、2、3、4.

应用判定定理1解题,先寻找一组等角,再分两种情况讨论另外两组对应角相等,如例题6. 应用判定定理3解题不多见,如例题5,根据三边对应成比例列连比式解方程(组).

例题解析

例? 如图1-1,抛物线y?123B两点(A点在B点左侧),与y轴交于点C.动x?x?4与x轴交于A、

82直线EF(EF//x轴)从点C开始,以每秒1个单位的速度沿y轴负方向平移,且分别交y轴、线段BC于E、

F两点,动点P同时从点B出发,在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动.是否存在t,使得△BPF与△ABC相似.若存在,试求出t的值;若不存在,请说明理由.

图1-1

【解析】△BPF与△ABC有公共角∠B,那么我们梳理两个三角形中夹∠B的两条边.

123x?x?4,可得A(4, 0)、B(8, 0)、C(0, 4). 82CECO1于是得到BA=4,BC=45.还可得到??.

EFOB2△BPF中,BP=2t,那么BF的长用含t的式子表示出来,问题就解决了.

△ABC是确定的.由y?在Rt△EFC中,CE=t,EF=2t,所以CF?5t. 因此BF?45?5t?5(4?t).

于是根据两边对应成比例,分两种情况列方程: ①当

4BABP42t时,.解得t?(如图1-2). ??3BCBF455(4?t)BABF45(4?t).解得20(如图1-3).

时,?t??BCBP72t45②当

图1-2 图1-3

2

例? 如图2-1,在平面直角坐标系中,顶点为M的抛物线y=ax+bx(a>0)经过点A和x轴正半轴上的点B,AO=BO=2,∠AOB=120°.

(1)求这条抛物线的解析式; (2)连结OM,求∠AOM的大小;

(3)如果点C在x轴上,且△ABC与△AOM相似,求点C的坐标.

图2-1 【解析】△ABC与△AOM中相等的一组角在哪里呢?

本题由简到难,层层深入.第(1)题求出抛物线的解析式,得到顶点M的坐标,为第(2)题求∠AOM的大小作铺垫;求得了∠AOM的大小,第(3)题暗示了要在△ABC中寻找与∠AOM相等的角.

(1)如图2-2,过点A作AH⊥y轴,垂足为H.容易得到A(?1,3).

再由A(?1,3)、B(2,0)两点,可求得抛物线的解析式为y?3223x?x. 33(2)由y?3223333,得顶点M (1,?x?x?(x?1)2?).

333333.所以∠BOM=30°.所以∠AOM=150°. 3所以tan?BOM?

图2-2

(3)由A(?1,3)、B(2,0),可得∠ABO=30°. 因此当点C在点B右侧时,∠ABC=∠AOM=150°. 所以△ABC与△AOM相似,存在两种情况: ①当

BAOABA23??3时,BC???2.此时C(4,0)(如图2-3). BCOM33BCOA??3时,BC?3BA?3?23?6.此时C(8,0)(如图2-4). BAOM②当

图2-3 图2-4

例? 如图3-1,抛物线y=ax+bx-3与x轴交于A(1, 0)、B(3, 0)两点,与y轴交于点D,顶点为C. (1)求此抛物线的解析式;

(2)在x轴下方的抛物线上是否存在点M,过M作MN⊥x轴于点N,使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

2

图3-1

【解析】△AMN是直角三角形,因此必须先证明△BCD是直角三角形.一般情况下,根据直角边对应成比例分两种情况列方程.

(1)抛物线的解析式为y=-x+4x-3.

(2)由y=-x+4x-3=-(x-2)+1,得D(0,-3),C(2, 1).

如图3-2,由B(3, 0)、D(0,-3)、C(2, 1),可知∠CBO=45°,∠DBO=45°. 所以∠CBD=90°,且

BC21??. BD3232

2

2

图3-2 图3-3 图3-4

设点M、N的横坐标为x,那么NM=-yM,而NA的长要分N在A的右边或左边两种情况,因此列方程要“两次分类”:

当N在A右侧时,NA=x-1,分两种情况列方程: ①当②当

x?110NABD107?3.解得x?.此时M(,?)(如图3-3). ??3时,

(x?1)(x?3)3NMBC39x?11NABC1?.解得x=6.此时M(6,-15)(如图3-5). ??时,

(x?1)(x?3)3NMBD31?xNABD8?3.解得x?>1,不符合题意(如图3-4). ??3时,

(x?1)(x?3)NMBC3当N在A左侧时,NA=1-x,也要分两种情况列方程: ①当

②当

1?x1NABC1?.解得x=0,此时M(0,-3)(如图3-6). ??时,

(x?1)(x?3)3NMBD3

图3-5 图3-6

例? 如图4-1,在平面直角坐标系中,A(8,0),B(0,6),点C在x轴上,BC平分∠OBA.点P在直线

AB上,直线CP与y轴交于点F,如果△ACP与△BPF相似,求直线CP的解析式.

图4-1

【解析】首先求得点C(3,0).△ACP与△BPF中,相等的角在哪里啊?

①如图4-2,当点P在线段AB上时,△ACP与△BPF中,∠APC与∠BPF是邻补角,如果这两个邻补角一个是锐角,一个是钝角,两个三角形怎么可能相似呢?因此CP与AB是垂直的.可以求得F(0,-4),于是直线CF(CP)为y?4x?4. 3②如图4-3,当点P在AB的延长线上时,△ACP与△BPF有公共角∠P.于是∠OFC=∠PFB=∠A,可

4以求得F(0, 4),因此直线CF(CP)为y??x?4.

3③如图4-4,当点P在BA的延长线上时,∠B与∠PCA不可能相等.在△AOB中,根据大边对大角,∠B>∠BAO;∠BAO又是△PCA的一个外角,∠BAO>∠PCA.

图4-2 图4-3 图4-4

例? 如图5-1,二次函数y=x+3x的图象经过点A(1,a),线段AD平行于x轴,交抛物线于点D.在

2

y轴上取一点C(0, 2),直线AC交抛物线于点B,连结OA、OB、OD、BD.求坐标平面内使△EOD∽△AOB的

点E的坐标;