图5-1

【解法一】点A、D、B都是确定的，可以求得A(1, 4)，D(－4, 4)，B(－2,－2)． 所以AO?17，BO?22，AB?35，DO?42．

△EOD∽△AOB，对应边已经确定，因此我们可以根据判定定理3列方程． 由

EO42DEEOODDE??，得．所以EO?217，DE?65． ??AOOBBA1722352

2

?x2?y2?68,?x1?8,?设点E的坐标为(x, y)，根据EO＝68，DE＝180，列方程组?解得 ?22y??2,(x?4)?(y?4)?180.??1??x2?2, ?y??8,?2所以点E的坐标为(8,－2)或(－2, 8)．

上面的解题过程是“盲解”，我们并不明白两个三角形的位置关系．

【解法二】如图5-2，△AOB是确定的，△AOB与△EOD有公共点O，OB∶OD＝1∶2，∠BOD＝90°． 如果△EOD∽△AOB，我们可以把△AOB绕着点O顺时针旋转，使得点B′落在OD上，此时旋转角为90°，点B′恰好落在OD的中点．

按照这个运动规则，点A(1, 4) 绕着点O顺时针旋转90°，得到点A′(4,－1)，点A′是线段OE的中点，因此点E的坐标为(8,－2)．

如图5-3，点E(8,－2)关于直线OD（即直线y＝－x）对称的点为E′(2,－8)．

图5-2 图5-3

例? 如图6-1，在△ABC中，AB＝AC＝42，BC＝8．⊙A的半径为2，动点P从点B出发沿BC方向以每秒1个单位的速度向点C运动．延长BA交⊙A于点D，连结AP交⊙A于点E，连结DE并延长交BC于点F．设点P运动的时间为t秒，当△ABP与△FBD相似时，求t的值．

图6-1

【解析】△ABC是等腰直角三角形，⊙A是确定的，先按照题意把图形补充完整． 如图6-2，容易发现△ABP与△FBD有公共角∠B，如果根据对应边成比例列方程其中BA＝42，BP＝t，BD＝42＋2，但是用含t的式子表示BF困难重重啊！

BABDBABF或，??BPBFBPBD

图6-2 图6-3 图6-4

我们另起炉灶，按照判定定理1来解决．

△ABP与△FBD有公共角∠B，我们以∠D为分类标准，分两种情况讨论它们相似：

第一种情况，如图6-3，∠BAP＝∠D是不可能的，这是因为∠BAP是等腰三角形ADE的外角，∠BAP＝2∠D．

第二种情况，如图6-4，当∠BPA＝∠D时，在△ABP中，由于∠BAP＝2∠D＝2∠BPA， 因此45°＋3∠BPA＝180°．解得∠BPA＝45°．

此时△ABP是等腰直角三角形，P与C重合，所以t＝8．

解答这道题目，如果选取点P的3个不同位置，按照题意画图，可以帮助我们探究．在讨论第二种情况∠BPA＝∠D时，我们容易被已知图6-1给定的点P的位置所误导，以为图6-2中“锐角∠D”与“钝角∠BPA”不可能相等．