第2章 动力学基本定律补充题

1. 一质量为m的质点以不变速率v沿T2-2-10图中正三角形ABC

的水平光滑轨道运动．质点越过A角时，轨道作用于质点的冲量的大小为 BA3mv ． ?2CT2-2-10图 2. 一质点受力F?3xi(SI)作用, 沿x轴正方向运动. 在从x = 0到x = 2m的过程中, 力F作功为 8 J ．

?????3. 一个质点在几个力同时作用下的位移为:?r?4i?5j?6k(SI), 其中一个恒力为: ????F??3i?5j?9k(SI)．这个力在该位移过程中所作的功为 67 J ．

4. 一质点在如图所示的坐标平面内作圆周运动，有一力 ??? F?F0(xi?yj)作用在质点上．在该质点从坐标原点运动到

? (0,2R)位置过程中，力F对它所作的功为=2F0R2

YRXO T2-2-14图

5. 质量为m = 0.5kg的质点在xOy平面内运动,其运动方程为x = 5t, y = 0.5 t2 (SI), 从t = 2s到t = 4s这段时间内, 外力对质点作的功为 3J ．

6. 一长为l，质量为m的匀质链条，放在光滑的桌面上，若其长度的1/5悬挂于桌边下，将其慢慢拉回桌面，需做功

1mgl ． 5027 一质量为m的质点在指向圆心的平方反比力F??k/r的作用下，作半径为r的圆周

运动，此质点的速度v? 械能E? ?

k ．若取距圆心无穷远处为势能零点，它的机mrk ． 2r 1

8. 两小球的质量均为m，小球1从离地面高为h处由静止下落，小球2在小球1的正下方地面上以初速v0同时竖直上抛．设空气

? y1h?v02阻力与小球的速率成正比，比例系数为k (常量)．试求两小球相遇

O的时间、地点以及相遇时两小球的速度．

T2-3-2图

解：两小球均受重力和阻力的作用．小球1向下运动，速度为负，阻力-kv沿+y向，所受合力为-kv- mg. 小球2向上运动，速度为正，阻力、重力均沿-y向，合力亦为-kv –mg，故两小球的动力学方程具有如下相同的形式

d2mydt2??kv?mg (1)

由动力学方程(1)有 dvdt??kmv?g分离变量

dv?dt (2)

?kmv?g对小球1，其初始条件为t = 0 时，v10 = 0 ，y10 = h ．积分(2)式

?v1dvt0??kv?g?0dt

m得 vmg-kt1??k(1?em) 对小球2，其初始条件为t = 0 时，v20 = v0 ，y20 = 0．积分(2)式

?v2dvtv0?k?v??0dt

mg得 vmg-k2?(v0?mtmgk)e?k k对小球1，由(3)式有 dy1dt?mg-tk(1?em)，利用初始条件积分得

m2-k ygtmg1?h?k2(1?em)?kt 对小球2，由(4)式利用初始条件积分得

mmg-k ytmg2?k(v0?k)(1?em)?kt (1) 两小球相遇时， y1 = y2 ，由(5)、(6)式可得相遇时间

y 1 hv?0 O2A2-3-2图

(3)

(4) (5)

(6)

2

t???(2) 将(7) 代入(5)或(6)式得相遇地点为

mkhln(1?) (7) kmv0mgm2gkh y?(1?)h?2ln(1?) (8)

kv0mv0k?(3) 将(7)式分别代入(3)和(4)中可得相遇速度：

mgkhgh (9) [1?(1?)]??kmv0v0mgkhmgghkh? v2?(v0? (10) )(1?)??(v0?)?kmv0kv0m v1???

9. 已知一水桶以匀角速度? 绕自身轴z转动，水相对圆筒静止，求水

面的形状(z - r关系)．

解： 以水表面任一小体积隔离体m作为研究对象，m受力为重力mg及水对水面m的作用力N (?水面)，稳定时无切向力(见A2-3-6图) m作匀速圆周运动

a???r

Z方向 Ncos??mg?0 (1) -r方向 Nsin??m?r (2) 由(1)、(2) 式有 tan??积分有

2?2?

T2-3-7图

?2rg?dz dr?zz0dz??(0r?2g) rdr

得 z?(水面是旋转抛物面

?22g)r2?z0

zzN??rm水 ?面 z0mgOA2-3-7图

r10. 如T2-3-9图所示，砂子从h＝0.8m高处下落到以3 m?s-1的速率水平向右运动的传送带上．取重力加速度g＝10 m?s-2，求传送带给予沙子的作用力．

h

T2-3-9图

3