专题06 三角恒等变换与解三角形（热点难点突破）
π?π??π?1．函数f(x)＝sin(2x＋φ)?|φ|＜?的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f(x)在?0，?上2?2?6??的最小值为( ) A．－
31
B．－ 22
13C. D. 22【答案】A
ππ??π????【解析】函数f(x)＝sin(2x＋φ)向左平移个单位得y＝sin ?2?x＋?＋φ?＝sin ?2x＋＋φ?，又其
6?36?????ππππ
为奇函数，故＋φ＝kπ，π∈Z，解得φ＝kπ－，又|φ|＜，令k＝0，得φ＝－，
3323π??∴f(x)＝sin ?2x－?.
3??
?π?又∵x∈?0，?， 2??
π??π?π2?3??∴2x－∈?－，π?，∴sin?2x－?∈?－，1?，
3??23?33???当x＝0时，f(x)min＝－3
，故选A. 2
1
2．已知函数f(x)＝sin x－cos x，且f′(x)＝f(x)，则tan 2x的值是( )
2244
A．－ B．－ C.
333【答案】D
112tan x－6【解析】因为f′(x)＝cos x＋sin x＝sin x－cos x，所以tan x＝－3，所以tan 2x＝2＝
221－tanx1－93
＝，故选D. 4
π??3．已知函数f(x)＝sin?2x＋?，则下列结论中正确的是( ) 4??A．函数f(x)的最小正周期为2π
3
D. 4
?π?B．函数f(x)的图象关于点?，0?对称 ?4?
π
C．由函数f(x)的图象向右平移个单位长度可以得到函数y＝sin 2x的图象
8D．函数f(x)在?【答案】C
?π，5π?上单调递增
8??8?
1
π?πππ?【解析】函数f(x)＝sin?2x＋?的图象向右平移个单位长度得到函数y＝sin2x－＋＝sin 2x的图4?884?象，故选C.
π???17π?的值为( )
4．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)?ω＞0，|φ|＜?的部分图象如图1-6所示，则f(0)＋f??2???12?
图1-6
A．2－3 B．2＋3 C．1－
33
D．1＋ 22
【答案】A
5．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( )
A．[－1,1] B．[－1，2] C．[－2，1] D．[1，2] 【答案】A
π
【解析】由sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝1，α，β∈[0，π]，得α－β＝，β＝α
2－
π?π?π??∈[0，π]?α∈?，π?，且sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin?α＋?＋sin(π－α)＝cos α＋2?2?2??
2
π?π22???π??3π，5π??sin?α＋π?∈?sin α＝2sin?α＋?，α∈?，π??α＋∈?????－，??4?4?4??24??2??4?2?π??sin?α＋?∈[－1,1]，故选A.
4??
6．已知函数y＝loga(x－1)＋3(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点P，若角α的顶点与原点重合，始边与x 2
轴的正半轴重合，终边经过点P，则sinα－sin 2α的值为( ) A.C.5
13
5
B．－
13
2
33 D．－ 1313
【答案】D
【解析】根据已知可得点P的坐标为(2,3)，根据三角函数定义，可得sin α＝
323?3?2
×＝－. ?－2×13?13?1313
3
2
，cos α＝，所以1313
sinα－sin 2α＝sinα－2sin αcos α＝?
22
π?π?7．将函数f(x)＝sin(2x＋φ)?|φ|＜?的图象向右平移个单位，所得到的图象关于y轴对称，则函数
2?12?
f(x)在?0，?上的最小值为( )
2
??
π?
?
A.
3113 B． C．－ D．－ 2222
【答案】D
π?π?8．已知函数f(x)＝asin x－bcos x(a，b为常数，a≠0，x∈R)在x＝处取得最大值，则函数y＝f?x＋?4?4?是( )
A．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称 B．偶函数且它的图象关于点?C．奇函数且它的图象关于点?
?3π，0?对称
?
?2??3π，0?对称
?
?2?
D．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称 【答案】B
?π?【解析】由题意可知f′??＝0， ?4?
ππ
即acos＋bsin＝0，∴a＋b＝0，
44
?π?∴f(x)＝a(sin x＋cos x)＝2asin?x＋?.
4??
3
?π??π?∴f?x＋?＝2asin?x＋?＝2acos x.
4?2???
?π??3π?易知f?x＋?是偶函数且图象关于点?，0?对称，故选B. 4???2?
9．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图1-9所示，且f(α)＝1，α5π??π??∈?0，?，则cos?2α＋?＝( ) 3?6???
图1-9
2222
A．± B．
33221
C．－ D.
33【答案】C
【解析】由图易得A＝3，函数f(x)的最小正周期T＝
2π?7ππ?＝4×?－?，解得ω＝2，所以f(x)＝3sin(2xω?123?
π3?π??π??π?＋φ)．又因为点?，－3?在函数图象上，所以f??＝3sin?2×＋φ?＝－3，解得2×＋φ＝π＋2kπ，
332?3??3???
k∈Z，解得φ＝5π?5π5π??π?＋2kπ，k∈Z.又因为0＜φ＜π，所以φ＝，则f(x)＝3sin?2x＋?，当α∈?0，?6?3?66??
5π?5π?5π3π?5π?2α＋5π?＝1＞0，，?.又因为f(α)＝3sin?2α＋时，2α＋∈?＝1，所以sin所以2α＋????2?6?6?36?66??∈?
?5π，π?，则cos?2α＋5π?＝－???6??6??5π?222?1－sin?2α＋?＝－，故选C.
6?3?
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若11
A．－ B.
22C．－
3 2
D.3 2
b3cos B＝
，则cos B＝( ) sin Aa【答案】B
【解析】由正弦定理，得π1，cos B＝. 32
＝，即sin B＝3cos B，∴tan B＝3.又0 3cos Bsin Asin B＝ bab 4 11．在△A BC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若bsin A－3acos B＝0，且b＝ac，则的值为( ) A.2 2 B.2 C．2 D．4 2 a＋cb【答案】C π22 12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝(a－b)＋6，C＝，则△ABC的面积是( ) 393 A．3 B． 2C. 33 D．33 2 【答案】C 【解析】∵c＝(a－b)＋6，∴c＝a＋b－2ab＋6.① ππ22222 ∵C＝，∴c＝a＋b－2abcos ＝a＋b－ab.② 33由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6， 11333∴S△ABC＝absin C＝×6×＝. 2222 π 13．在△ABC中，c＝3，b＝1，∠B＝，则△ABC的形状为( ) 6A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】根据余弦定理有1＝a＋3－3a，解得a＝1或a＝2，当a＝1时，三角形ABC为等腰三角形，当a＝2时，三角形ABC为直角三角形，故选D. π 14．如图2-1，在△ABC中，C＝，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足．若DE＝22，则 3cos A＝( ) 5 2 2 2 2 2 2