高考数学 专题06 三角恒等变换与解三角形热点难点突破 理 下载本文

图2-1 A.C.

222

B. 3466 D. 43

【答案】C

DE22BCBD【解析】∵DE=22,∴BD=AD==.∵∠BDC=2∠A,在△BCD中,由正弦定理得=,sin Asin Asin∠BDCsin C∴

4222426

=×=,∴cos A=,故选C. sin 2Asin A433sin A15.设角A,B, C是△ABC的三个内角,则“A+B

D.既不充分也不必要条件 【答案】A

π

【解析】由A+B+C=π,A+B,故三角形ABC为钝角三角形,反之不一定成立.故选A.

216.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C,3b=20acos

A,则sin A∶sin B∶sin C=( )

A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4 【答案】D

【解析】∵A>B>C,∴a>b>c. 又∵a,b,c为连续的三个正整数,

∴设a=n+1,b=n,c=n-1(n≥2,n∈N). 3b∵3b=20acos A,∴=cos A,

20a*

6

3bb+c-a∴=, 20a2bc20即

3nn+n-1-n+1

=n+12nn-13nnn-4

=,

20n+12nn-1

2

2

2

2

222

化简得7n-27n-40=0,(n-5)(7n+8)=0, 8??∴n=5?n=-舍?.

7??又∵==,

sin Asin Bsin C∴sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=6∶5∶4. 故选D

17.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且满足csin A=3acos C,则sin A+sin B的最大值是( ) A.1 B.2 C.3 D.3 【答案】D

abc

18.已知在△ABC中,B=2A,∠ACB的平分线CD把三角形分成面积比为4∶3的两部分,则cos A=__________. 2【答案】

3

【解析】由题意可知S△ACD∶S△BCD=4∶3,

7

∴AD∶DB=4∶3,AC∶BC=4∶3,在△ABC中,由正弦定理得 4

sin B=sin A,

3

42

又B=2A,∴sin 2A=sin A,∴cos A=.

33

19.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若∠B=∠C,且7a+b+c=43,则△ABC面积的最大值为__________. 【答案】5

5

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

【解析】法一:由∠B=∠C得b=c,代入7a+b+c=43,得7a+2b=43,则2b=43-7a,由余

222

a2+b2-c2a4b-a83-15a2

弦定理得cos C==,所以sin C=1-cosC==,则△ABC的面积为S2ab2b2b2b11

=absin C=ab×2215a+

2

2

83-15a1

2b4

2

a23-15a2

1415

15a2

3-15a2

1415

×

3-15a2

158352

=×43=,当且仅当a=时取等号,则△ABC的面积的最大值为.

5305415

1

法二:由∠B=∠C得b=c,所以7a+b+c=43,即为7a+2c=43,则△ABC面积为a 2

2

2

2

2

2

c-=4

2

a2

1

415

15a2c2-a2≤8355×=,所以最大值为. 255415

1

20.如图2-3,△ABC中,AB=4,BC=2,∠ABC=∠D=60°,若△ADC是锐角三角形,则DA+DC的取值范围是__________.

图2-3

【答案】(6,43]

【解析】在△ABC中,由余弦定理得AC=AB+BC-2AB·BCcos∠ABC=12,即AC=23.设∠ACD=23DAθ(30°<θ<90°),则在△ADC中,由正弦定理得==

sin 60°sin θ

2

2

2

DC120°-θ

,则DA+DC=4[sin

3?3?

θ+sin(120°-θ)]=4?sin θ+cos θ?=43sin(θ+30°),而60°<θ+30°<120°,43sin

2?2?60°

8