高中数学一轮复习教案——三角函数知识点复习

一：三角函数线：

yy??y?MP r1xx cos????x?OM 有向线段MP,OM,AT,BS分别称作

r1yMPAT tan?????AT ?角的正弦线,余弦线,正切线,余切线

xOMOAxOMBS cot?????BS S2 S1 B yMPOBP2 P1 A o T2 1． sin??T1 π），试证明：sinα＜α＜tanα. 2证明：如下图，在平面直角坐标系中作单位圆，设角α以x轴正半轴为始边，终边与单位圆交于P点. 例1：设α∈（0，

yTP?MOA∵S△OPA＜S扇形OPA＜S△OAT， 111∴|MP|＜α＜|AT|.∴sinα＜α＜tanα. 222例2：求函数y?log21?1的定义域。 sinx 5?,2k???)

66二：点坐标和三角比的关系

1. 角α的终边过点P（－8m，－6cos60°）

4且cosα=－，则m的值是___________。

5?8m4解：P（－8m，－3），cosα==－.

564m2?9(2k?,2k??]?[2k??11或m=－（舍去）. 22二：角的象限判定？

∴m=

例1：已知?是第三象限角且cos??2?0，问

?2?是第几象限角？ 2 (k?Z)

解：∵(2k?1)????(2k?1)??∴k?? 则

?2??2?k??3? (k?Z) 4?是第二或第四象限角 2??又∵cos?0 则是第二或第三象限角

22?∴必为第二象限角 2(可用图分析判断例2：.已知sin

?3=，cos =－，那么α的终边在

5252

??，的范围) 23?4 B.第三或第四象限

D.第四象限

??24??7解析：sinα=2sincos=－＜0，cosα=cos2－sin2=＞0，

25222225∴α终边在第四象限.

(需要算两个三角比来确定象限)

三：如何确定角的象限。（象限角不包括坐标轴）

（1）若sin??0，

则?角的终边可能位于第三、第四象限，也可能位于y轴的非正半轴 （2）若tan??0，

则角?的终边可能位于第一或第三象限

四：三角比值范围：?1?sin??1;?1?cos??1；

A.第一象限 C.第三象限

?A2?B2?Asin??Bcos??A2?B2

4?2mm?3,cos??,例1．已知m?5m?5?是第四象限角，sin?? 解：∵sin2? + cos2? = 1 ∴( 求m的值。

4?2m2m?32)?()?1 m?5m?5?m1?0,(与?是第四象限角不合）m2?8

化简，整理得：

m(m?8)?0

辅助角公式

例2．若cosxcosy?1，则cos(x?y)? 。1

asin??bcos??a2?b2sin(??arctgba)acos??bsin??a?bcos(??arctg)ba22

例1． 已知函数f(x) = asinx + bcosx (x∈R), 且f(?) =2,

4 f(x)的最大值是10，求a, b的值。

例2．使方程2sinx?5cosx? ( C )

1有解的实数m的取值范围是 m A．(??,0)?(0,??) B．R

1111,]

3333五：sin??Acos?与tan??A的互化应用（弦化切割） 例1：已知sin??2cos?，

C．(??,?]?[,??) D．[?求

sin??4cos? 及sin2??2sin?cos?的值。5sin??2cos?sin??4cos?tan??4?21解：?sin??2cos??tan??2?????

5sin??2cos?5tan??2126sin2??2sin?cos?tan2??2tan?4?262sin??2sin?cos?????2224?15sin??cos?tan??1

强调（指出）技巧：1?分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式 2?“化1法”

2sin??cos???5，求3cos 2? + 4sin 2? 的值。

sin??3cos?2sin??cos? 解：∵??5 ∴cos ? ? 0 (否则 2 = ? 5 )

sin??3cos?2tan??1 ∴??5 解之得：tan ? = 2

tan??33(1?tan2?)4?2tan?3(1?22)4?2?27???? ∴原式?222251?tan?1?tan?1?21?2例2：已知

例3：已知sin(?+?)=,sin(???)= 求

2325tan?的值 tan?解： ∵sin(?+?)= ∴sin?cos?+cos?sin?= ①

sin?cos?转化应用。 六：sin??cos?与sin??cos?、例：已知sin??cos??223322 sin(???)= ∴sin?cos??cos?sin?= ②

558 ①+②：sin?cos?= 815tan?sin?cos?2?=?15 ①?②：cos?sin?= 2tan?cos?sin?15?4153，求tan??cot?及sin??cos?的值。 331解：将 sin??cos?? 两边平方，得：sin?cos???

33125?tan??cot????3；(sin??cos?)2?1?2sin?cos??1??

33sin?cos??sin??cos???

15 3七：关于开方的化简 例1：1?sin2440?

解：原式?1?sin2(360??80?)?1?sin280??cos280??cos80?

例2：已知?是第三象限角，化简1?sin?1?sin?1?sin??1?sin?

解：原式?(1?sin?)(1?sin?)(1?sin?)(1?sin?)(1?sin?)(1?sin?)?(1?sin?)(1?sin?)

?(1?sin?)2(1?sin?)21?sin?1?sin?1?sin2??1?sin2??|cos?|?|cos?| ??是第三象限角，?cos??0?原式?1?sin?1?sin??co?s??co?s??2ta?n （注意象限、符号）

八：“平方的化简及转化应用” 例1、已知asec??ctan??d,bsec??dtan??c,求证：a2?b2?c2?d2

证：由题设：??asec??ctan??d(1)?bsec???dtan??c(2)

(1)2?(2)2：(a2?b2)sec2??(c2?d2)tan2??c2?d2

(a2?b2)sec2??(c2?d2)sec2?

?a2?b2?c2?d2

例2、消去式子中的?：??x?sin??cos?(1)y?tan??cot?(2)

?：由(1)：x2?1?2sin?cos??sin?cos??x2?12(3) 由(2)：y?sin?cos??cos?sin??1sin?cos??sin?cos??1y将(3)代入(4)：y?2x2?1 （平方消去法）

例3、若sinx?siny?22，则cosx?cosy的取值范围为_______________。 令

cosx?cosy?tt2?12?(sinx?siny)2?(cosx?cosy)2?2?2cos(x?y)?4?t2?714142?t?[?2,2]

九：倍角公式与诱导公式的综合应用 例1． 已知cos(??x)?35，且5?44?x?7?4， sin2x?2sin2求x1?tanx的值．

(4)

，

3?，得sin2x??cos[2(?x)]

445?75?7?5?7???[2cos2(?x)?1]?,x?(,)，2x?(,)

4254422724sin2x?2cos2x?128 由sin2x?，得cos2x??．∴原式?． ??1?cos2x2525751?sin2x解：由cos(??x)?3?3?, ,，?x?454424则cos2x的值是 . ?；

25

九：函数应用

例1：若关于x的方程2cos2(? + x) ? sinx + a = 0 有实根，求实数a的取值范围。

解：原方程变形为：2cos2x ? sinx + a = 0 即 2 ? 2sin2x ? sinx + a = 0

例2.已知 sin(x??)? ∴a?2sinx?sinx?2?2(sinx?)? ∵? 1≤sinx≤1

∴当sinx??时，amin?? ∴a的取值范围是[?214217 81417amax?1 ； 当sinx?1时，817,1] 8例2：在?ABC中，已知A?B?C，a?cosB，b?cosA，c?sinC． （1）求?ABC的外接圆半径R和角C的值； （2）求a?b?c的取值范围． （1）由正弦定理，

cosBcosAsinC1???2R?1，∴R?，sin2A?sin2B． sinAsinBsinC2 ∵A?B?C，∴2A?2B??，即A?B? （2）∵a?b?c?sinA?cosA?1?2sin????．

22?????A???1，A??0,?， ∴a?b?c?2,4?4???．∴C??2?1．

?

例3：求函数y??a?sinx??a?cosx?a?R???的最值。

y?a2?a?sinx?cosx??sinxcosx

t21?at?a2?，t??2,2，?a?R??， 设sinx?cosx?t，于是y?22a2?1t?2，six?cosx?2当0?a?2，，即nt??a即sinx?cosx??a时ymin?222a?1； 时ymax?a?2??