×××大学线性代数期末考试题

一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）

11. 若0?3521x?0，则??__________。 ?2?1??x1?x2?x3?0?2．若齐次线性方程组?x1??x2?x3?0只有零解，则?应满足 。

?x?x?x?023?13．已知矩阵A，B，C?(cij)s?n，满足AC?CB，则A与B分别是 阶矩阵。

?a11?A?4．矩阵?a21?a?31a12??a22?的行向量组线性 。 a32??2?15．n阶方阵A满足A?3A?E?0，则A? 。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分）

1. 若行列式D中每个元素都大于零，则D?0。（ ）

2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ）

3. 向量组a1，a2，?，am中，如果a1与am对应的分量成比例，则向量组a1，a2，?，as线性相关。（ ）

?0?14. A???0??0100000010?0??，则A?1?A。（ ） 1??0??15. 若?为可逆矩阵A的特征值，则A的特征值为?。 ( )

三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分)

T1. 设A为n阶矩阵，且A?2，则AA?（ ）。

① 2

n② 2n?1

③ 2n?1 ④ 4

2. n维向量组 ?1，?2，。 ?，?s（3 ? s ? n）线性无关的充要条件是（ ）

① ?1，?2，?，?s中任意两个向量都线性无关

② ?1，?2，?，?s中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ ?1，?2，?，?s中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ ?1，?2，?，?s中不含零向量

3. 下列命题中正确的是( )。

① 任意n个n?1维向量线性相关 ② 任意n个n?1维向量线性无关 ③ 任意n?1个n 维向量线性相关 ④ 任意n?1个n 维向量线性无关

4. 设A，B均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。

① 若A，B均可逆，则A?B可逆 ③ 若A?B可逆，则 A?B可逆

② 若A，B均可逆，则 AB 可逆 ④ 若A?B可逆，则 A，B均可逆

5. 若?1，?2，?3，?4是线性方程组A??0的基础解系，则?1??2??3??4是A??0的（ ）

① 解向量

② 基础解系

③ 通解 ④ A的行向量

四、计算题 ( 每小题9分，共63分)

x?aa1. 计算行列式

aa解·

bcdx?bcd。

bx?cdbcx?ddddx?d1bbb1x?b11?x?a?b?c?dx?a?b?c?dx?a?b?c?dx?a?b?c?dccx?ccdddx?d?(x?a?b?c?d)bx?bbbccx?ccdddx?d1b000cxd00x?(x?a?b?c?d)x3x0x?aaaabx?bbbccx?cc?(x?a?b?c?d)000

?301???2. 设AB?A?2B，且A??110?, 求B。

?014????2?1?1??5?2?2??，B?(A?2E)?1A??4?3?2?

??2?2?1??????1?3???11???22?解.(A?2E)B?A (A?2E)?1

?1?100??21?01?10??02?, C??3. 设B??001?1???00?0001??00???

31204?3??且矩阵?满足关系式X(C?B)'?E, 求?。 1?2???1???1????2??a???2???????114. 问a取何值时，下列向量组线性相关？?1????,?2??a?,?3????。

?2??2???1???1?a?????????2????2???

??x1?x2?x3???3?5. ?为何值时，线性方程组?x1??x2?x3??2有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多

?x?x??x??223?1解时求其通解。

① 当??1且???2时，方程组有唯一解； ②当???2时方程组无解

??2???1???1???????③当??1时，有无穷多组解，通解为??0?c11?c20 ??????????0???0???1??

?1??2??1??3?????????490???????10?6. 设?1???, ?2??并将其余向, ??, ??. 求此向量组的秩和一个极大无关组，34?????1?1?3?7?????????0???3???1???7?????????量用该极大无关组线性表示。

?100???7. 设A??010?，求A的特征值及对应的特征向量。

?021???五、证明题 (7分)

若A是n阶方阵，且AA?I， 证明 A?I?0。其中I为单位矩阵。 A??1，

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