2011----2012学年第二学期期末考题解答

一.填空题(每小题3分, 满分15分)

1. 过直线L:x?1y?2z?2??且垂直于平面3x?2y?z?5的平面方程是2?32_________．

【解】应填：x?8y?13z?9?0．

???直线L的方向向量s?{2,?3,2}．已知平面的法向量n1?{3,2,?1}，设所求平面的法??????向量为n，由题意知n?s且n?n1，故可取

???ijk????n?s?n1?2?32?{?1,8,13}，

32?1由条件知，所求平面过点P0(1,?2,2)于是所求平面方程为

，

?(x?1)?8(y?2)?13(z?2)?0，

即

x?8y?13z?9?0．

2. 设x2?2xy?y?zez?1，则dz【解】应填：?2dx?dy．

由x?2xy?y?ze?1，两边求全微分，得

2z(0,1)? ．

2xdx?2ydx?2xdy?dy?(1?z)ezdz?0，

当x?0,y?1时，代入原方程得z?0，

所以

dz

(0,1)??2dx?dy．

3. 椭圆抛物面?：z?2x?y在点P0(1,?1,3)处的法线方程是___________. 【解】应填：

22x?1y?1z?3??. 4?2?1曲面?在点P0(1,?1,3)处的法向量可取为

1

?n??4x,2y,?1?(1,?1,3)??4,?2,?1?，

于是曲面?在点P0(1,?1,3)处的法线方程为

x?1y?1z?4??2?3?1.

4. 曲面z?x2?y2与z?x2?y2所围立体的体积为 ．

【解】应填：

?6． V????dv?2?0d?1r????0rdr?r2dz?6．

5. 设L为上半圆周y?1?x2，则曲线积分??x2L?xy?y2?ds=____________．【解】应填：?．

由对称性，代入技巧及几何意义可得

?2L?x?xy?y2?ds??Lds?0??

二.选择题(每小题3分, 满分15分)

1．方程y???3y??2y?1?2x?3ex的特解形式为（ ）． (A)(ax?b)ex (B) (ax?b)xex (C) ax?b?cex (D) ax?b?cxex 【解】选（D）

2.设un1n?(?1)sinn，则级数（ ）． （A）?????u2n与

?un都收敛 （B）

n?1n?1?u2n与

n?1?un都发散n?1（C）

?????u2n收敛，而

n发散 （D）

u2n发散，而

n收敛

n?1?un?1?n?1?un?1【解】选（C）

2

3．二元函数f(x,y)的两个偏导数fx￠(x,y)，fy￠(x,y)在点P0(x0,y0)处都连续是f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微分的（ ） (A) 充分条件 (B) 必要条件

(C) 充要条件 (D) 既非充分也非必要条件

【解】若fx￠(x,y)，fy￠(x,y)在点P0(x0,y0)都连续，则f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微分，

选(A) 4.

?10dx?2x1xy1?y3dy?（ ）

（A）

12?2?1 （B）

?13?2?1 （C）?112 2 （D）32【解】 原积分?

?dy?01y011y2dy1?dx??021?y331?y3xy?2?1． 选（B）

??x2???x?05. 设f(x)??，则周期为2?的函数f(x)的傅立叶级数在x?2?处

?x??0?x??收敛于 ． （A）??2 （B）?? （C）0 （D）?

2【解】选(A)

三. (10分) 设z?f(xy,xy)?g()，其中f有二阶连续偏导数，g有二阶导yx?2z数，求．

?x?y【解】根据复合函数求偏导公式得

?z1y?f1??y?f2???g??(?2), ?xyx3

?2z???z???1y??????f1??y?f2???g??(?2)??x?y?y??x??y?yx?x11xy1?f1??y[f11??x?f12???(?2)]?2f2??[f21??x?f22???(?2)]?g???3?g??2yyyyxx1xy1?f1??xyf11???2f2??3f22???3g???2g?yyxx

x2四. (10分) 求z?f(x,y)?x?y在闭区域D：?y2?1上的最大值和最小值．

422【解】在D的内部，

?fx??2x?0?(0,0)为驻点，且f(0,0)?0 ??f??2y?0?y在D的边界上，

x2x25x22222?y?1?y?1??z?x?y??1由444(?2?x?2)

dz5x??0?x?0，此时，y??1,，则有f(0,?1)??1,dx2比较上述函数值知，

f(?2,0)?4

函数z?f(x,y)?x?y在D上的最大值为4,最小值为-1．

五. (10分) 求微分方程y???22y??xex的通解. x1p?xex， x【解】不显含y，故令y??p,则y???p?，代入原方程得p??利用通解公式求得通解为

p?x(ex?C1)，

积分得原方程通解为

1y?(x?1)ex?C1x2?C2．

2

六. (12分)（Ⅰ）试确定可导函数f(x)，使在右半平面内，y[2?f(x)]dx?xf(x)dy为某函数u(x,y)的全微分,其中f(1)?2； （Ⅱ）求u(x,y)； 【解】（Ⅰ）P?y[2?f(x)]，Q?xf(x)．

4

因为y[2?f(x)]dx?xf(x)dy是函数u(x,y)的全微分，所以有 即

?Q?P， ??x?yf(x)?xf?(x)?2?f(x)，

故

xf?(x)?2f(x)?2． 上述微分方程的通解为

f(x)?1?所以

C.由f(1)?2得C?1, x21． x2f(x)?1? （Ⅱ）在右半平面内取(x0,y0)?(1,0)，则

11u(x,y)??P(x,0)dx??Q(x,y)dy??0(x?)dy?y(x?)．

10xxxyy

七. (12分) 求幂级数

??n(n?1)xn?1?n的收敛域及和函数．

【解】易求得其收敛域为(?1,1)，令

S(x)??n(n?1)x?x?n(n?1)xnn?1n?1?n?1?x?S1(x)， 其中 S1(x)??n(n?1)xn?1，

n?1??两边积分

?再积分

x0S1(x)dx???n(n?1)xn?10?xn?1dx??(n?1)xn，

n?1?(?0xx0S1(x)dx)dx???(n?1)xdx??xnn?10?x?n?1n?1x2． ?1?x因此

x22S1(x)?()???，

1?x(1?x)3故原级数的和

S(x)?

2x，x?(?1,1)．

(1?x)3八. (12分) 计算积分I???(y?z)dzdx?(x?2z)dxdy?，其中?是抛物面

z?x2?y2(0?z?1)，取下侧．

5