【解】补S0:z=1(x2+y2 1),取上侧,

设?与?0围成空间区域?, ?及?0在xOy平面上的投影区域Dxy:x?y?1. 由Gauss公式，

I?22???0???(y?z)dzdx?(x?2z)dxdy???(y?z)dzdx?(x?2z)dxdy

?0????[???(y?z)?(x?2z)]dv???(y?z)dzdx?(x?2z)dxdy ?y?z?0?0?3???dv???(y?z)dzdx?(x?2z)dxdy.

?因为?0垂直于zOx平面，?0在zOx平面上的投影区域面积为零， 所以

??(y?z)dzdx?0.

?0I?3??[?2Dxy1x?y2dz]dxdy???[x?2(x2?y2)]dxdy

Dxy2?1???(3?5x2?5y2)dxdy??d??(3?5r2)rdr?Dxy00?.2

九. (4分) 设函数?(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分

??(y)dx?2xydy2x?y24L的值恒为同一常数．证明：对右半平面x?0内的任意分段光滑简

单闭曲线C，有

??(y)dx?2xydy2x?y24C?0；

【证明】将C分解为：C?l1?l2，另作一条曲线l3围绕原点且与C相接，则

??(y)dx?2xydy2x?y24C???(y)dx?2xydy2x?y24l1?l3???(y)dx?2xydy2x?y24l2?l3?0．

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