第二章 基本初等函数(Ⅰ)

本章复习

学习目标

①复习巩固指数、对数的运算性质,进一步熟练地运用指数函数、对数函数及幂函数的性质解决一些问题;

②在学生对教材知识掌握的基础上,引导学生利用所学的知识解决问题,提高学生分析问题与解决问题的能力.

合作学习

一、复习回顾,承上启下 1.n次方根的定义:

n次方根:如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.

2.n次方根的性质

(1)当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,记为 ;

(2)当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数,记为 ; (3)负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0.

为奇数

3.

为偶数4.有理数指数幂的运算性质

an= (n∈N*);a0=1(a≠0);a-n= (a≠0,n∈N*).

个

(1)am·an=am+n(m,n∈Q); (2)(am)n=amn(m,n∈Q); (3)(ab)n=an·bn(n∈Q).

其中am÷an=am·a-n=am-n,()n=(a·b-1)n=an·b-n= .

5.对数:如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作 .其中a叫做对数的底数,N叫做真数.

根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系: 当a>0,且a≠1时,ax=N?x=logaN(符号功能)——熟练转化; 常用对数:以10为底log10N写成 ;

自然对数:以e为底logeN写成 (e=2.71828…). 6.对数的性质

(1)在对数式中N=ax>0(负数和零没有对数);

(2)loga1=0,logaa=1(1的对数等于0,底数的对数等于1);

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(3)如果把ab=N中的b写成 ,则有 =N(对数恒等式). 7.对数的运算性质:如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么: (1)loga(M·N)= ; (2)loga= ; (3)logaMn= ;

(4)logab= (a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0)(换底公式);

(5)logab= ; (6)lo bn= . 8.指数函数的性质 函数名称 指数函数 定义 函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数 a>1 图象 01(x>0),y=1(x=0),01(x<0),y=1(x=0),00) 在第一象限内,a越大图象越高,越靠近y轴; 在第二象限内,a越小图象越高,越靠近y轴; 在第二象限内,a越大图象越低,越靠近x轴 在第一象限内,a越小图象越低,越靠近x轴

9.对数函数的性质 函数名称 对数函数 定义 函数y=logax(a>0且a≠1)叫做对数函数 a>1 0

奇偶性 单调性 在(0,+∞)上是 函数 logax>0(x>1) logax=0(x=1) logax<0(01) logax=0(x=1) logax>0(0

10.反函数

(1)反函数概念

函数y=ax(x∈R)与对数函数y=logax(x∈(0,+∞))互为反函数.即同底的指数函数与对数函数互为反函数.

(2)反函数的性质

互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称. 11.幂函数

(1)幂函数的定义

一般地,函数 叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. (2)幂函数的图象

(3)幂函数的性质

①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限;

②过定点:所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都通过点(1,1);

③单调性:如果α>0,则幂函数的图象过原点,并且在[0,+∞)上为增函数.如果α<0,则幂函数的图象在(0,+∞)上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x轴与y轴;

④奇偶性:当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数.当α=(其中p,q互质,p和q∈Z),若p为奇数q为奇数时,则y= 是奇函数,若p为奇数q为偶数时,则y= 是偶函数,若p为偶数q为奇数时,则y= 是非奇非偶函数;

⑤图象特征:幂函数y=xα,x∈(0,+∞),当α>1时,若01,其图象在直线y=x上方;当α<1时,若01,其图象在直线y=x

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